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淺談數(shù)學(xué)的創(chuàng)新能改變?nèi)藗兊恼軐W(xué)觀念
哲學(xué)其實(shí)不神秘,不過是人們對世界的一些根本看法而已,每個(gè)人都有自己的哲學(xué)觀念,只是概括水平和系統(tǒng)性不同。這個(gè)世界的根本是物質(zhì)還是精神?人怎樣才能認(rèn)識世界?人活著的意義是什么?數(shù)學(xué)的根本特點(diǎn)是什么?數(shù)學(xué)新課程理念的根本依據(jù)是什么?這些都是哲學(xué)性的問題。
人們的哲學(xué)觀念會隨著時(shí)代改變而改變——數(shù)學(xué)的創(chuàng)新則能推動(dòng)這種改變,比如下面的幾個(gè)故事。
故事1:算術(shù)計(jì)算的法則不是絕對真理,會變。
古人認(rèn)為算術(shù)計(jì)算的法則是絕對真理:古希臘的畢達(dá)哥拉斯相信“宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比”;偉大的古希臘哲學(xué)家和教育家柏拉圖則說“整個(gè)算術(shù)和計(jì)算……就是我們所追求的那種學(xué)問,……哲學(xué)家……必須是個(gè)算術(shù)家。……算術(shù)……迫使靈魂用抽象的數(shù)來進(jìn)行推理,而厭棄在辯論中引入可見和可捉摸的對象”(克萊因《古今數(shù)學(xué)思想》第1冊第37頁和49-50頁);古中國人(也許還包括您)也有對數(shù)和算術(shù)的某種迷信,老子說“道生一,一生二,二生三,三生萬物”,以及對5的迷信(五行說)、對6的迷信(六六大順)、對8的迷信(周易八卦)、對9的迷信(九九歸一)、對10的迷信(十全十美)……等等。
但這些的確是迷信,比如1+1吧,隨著數(shù)學(xué)創(chuàng)造的增加,其法則和計(jì)算結(jié)果就都在變:
最初人們只知道正數(shù)和零,于是1+1絕對等于2;后來創(chuàng)造了負(fù)數(shù),1+1的結(jié)果就增加了一種,正1加負(fù)1等于零;再后來又創(chuàng)造了復(fù)數(shù),于是又增加了一種新結(jié)果,往東走1公里再往南走1公里,合計(jì)是往東南方向走了√2公里;不久前還創(chuàng)造了集合運(yùn)算(布爾代數(shù)),1個(gè)非空集合加另1個(gè)非空集合(求并集)有有三種可能結(jié)果——等于2(并集元素是兩集合元素匯總)、等于1(并集元素就是其中某一集合的元素)、等于1點(diǎn)幾(并集元素是兩集合元素總體的一部分,重復(fù)的各元素只保留一個(gè))……
可見:從哲學(xué)上說,沒什么絕對真理,真理都是相對的;從數(shù)學(xué)教學(xué)上說,數(shù)學(xué)模型是多樣化的,應(yīng)支持和鼓勵(lì)學(xué)生自主選擇。
故事2:那么歐氏幾何是絕對真理嗎?
中小學(xué)幾何都屬于歐氏幾何,沒人不贊賞它的清晰、嚴(yán)謹(jǐn),但它是絕對真理嗎?
古希臘歐幾里得創(chuàng)立的幾何體系權(quán)威性十足,后人(也許還包括您)對它極為崇拜,相信“數(shù)學(xué)定律和歐幾里得幾何一樣,是宇宙設(shè)計(jì)中所固有的”,“物質(zhì)世界必然是歐幾里得式的”(《古今數(shù)學(xué)思想》第3冊第278頁)。
其實(shí)不然!歷史上一直有數(shù)學(xué)家懷疑歐氏幾何的絕對正確,尤其19世紀(jì)創(chuàng)立的非歐幾何更打破了對歐氏幾何的迷信:第一,羅巴切夫斯基和黎曼的另兩種非歐幾何體系同樣合理!第二,事實(shí)上歐氏幾何的適應(yīng)面也不大——在地球上尤其是宇宙空間里到處存在的曲面上都非得用非歐幾何不可!
可見:從一般哲學(xué)來說,沒什么絕對真理,真理都是相對的;從數(shù)學(xué)哲學(xué)來說,數(shù)學(xué)其實(shí)就是一群方法(數(shù)學(xué)思想方法),只要能解決問題,學(xué)生喜歡用哪種就用哪種。
故事3:一定的原因必然導(dǎo)致一定的結(jié)果嗎?
數(shù)學(xué)頭幾千年的內(nèi)容都是必然性數(shù)學(xué),比如算術(shù)、代數(shù)和歐氏幾何,在給定的條件下,算法確定、結(jié)果唯一。至今中小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容仍然絕大部分是這種必然性數(shù)學(xué)。
這種情形無疑會熏陶出古人的決定論觀念:一定的原因必然導(dǎo)致一定的結(jié)果——我估計(jì)今天絕大多數(shù)人仍持這種觀念。
其實(shí)歷史上早有許多學(xué)者懷疑決定論,而源起于16世紀(jì)的概率論(它超越了必然性數(shù)學(xué)而開辟了或然性數(shù)學(xué))則極大支持了這種懷疑:看穿了的話,世界上的事情幾乎都不是必然性事件而是或然性事件——即使明白它的原因,其結(jié)果也有多種可能,只不過各自發(fā)生的概率不同。舉個(gè)最通俗的例子:太陽明早必然升起嗎?非也!用宇宙學(xué)的時(shí)間尺度來看,原本沒有什么太陽和地球,而它們后來的生成則大含偶然性,遺傳學(xué)又告訴我們?nèi)祟惖男纬梢诧柡既恍?所以“您看見明天太陽照樣升起”這件事從宏觀上看還是個(gè)或然性事件——還何況說不定今晚就有一個(gè)超大隕石把地球撞沒了讓你再也看不到太陽了呢!
于是,今天的科學(xué)家、哲學(xué)家不得不接受“世界是或然性的”這一新觀念,不再迷信所謂的“必然規(guī)律”,而提出“統(tǒng)計(jì)規(guī)律”的新概念——任何“規(guī)律”的作用結(jié)果都有多種可能,各種可能的發(fā)生并非必然而只有一定的概率。
用這種哲學(xué)觀念來指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué),我們就能更深刻地理解,為什么新課標(biāo)力主讓學(xué)生自主、探究和創(chuàng)造,而反對死記硬背定理、公式。
故事4:掌握了演繹論證思想方法就足以學(xué)好數(shù)學(xué)嗎?
古希臘人本來就有濃烈的理性精神,這催生了公理化的、用演繹論證一而貫之的歐氏幾何,歐氏幾何又反過來強(qiáng)化了他們的理性精神,促成了唯理論在西方哲學(xué)史上的長期統(tǒng)治地位。
理性精神強(qiáng)烈本沒錯(cuò),但過分了就會步入歧途——否定、排斥感性與直覺的力量。幸而20世紀(jì)的數(shù)學(xué)創(chuàng)新來了個(gè)糾偏。
20世紀(jì)數(shù)學(xué)最重大的研究是尋求整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),企圖為它建立一勞永逸的嚴(yán)密體系,而很多大數(shù)學(xué)家都主張建立公理化的、靠演繹邏輯維系的體系。這一研究成就巨大,但最終卻失望了:德國數(shù)學(xué)家哥德爾證明,任何演繹邏輯系統(tǒng),要么不可能完整、要么內(nèi)部會出現(xiàn)自己證明不了的命題!
這意味著:第一,哲學(xué)上的唯理論有片面性,要真正認(rèn)識復(fù)雜至極的世界,光靠理性不夠,還要靠感性;第二,數(shù)學(xué)不能只靠演繹思維,還要靠歸納思維、類比思維及感性意義的直覺——于是你能更深刻地理解,新數(shù)學(xué)課標(biāo)之所以對演繹論證、歸納、類比、數(shù)感、感悟和領(lǐng)悟等等一并提倡,是有深刻的現(xiàn)代哲學(xué)依據(jù)的。
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