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函數(shù)方案設(shè)計難題

時間:2022-07-03 05:25:52 輔助設(shè)計與工程計算 我要投稿
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函數(shù)方案設(shè)計難題

  函數(shù),最早由中國清朝數(shù)學家李善蘭翻譯,出于其著作《代數(shù)學》。以下是小編收集的方案設(shè)計難題,歡迎查看!

函數(shù)方案設(shè)計難題

  一次函數(shù)是最基本的函數(shù),它與一次方程、一次不等式有密切聯(lián)系,在實際生活中有廣泛的應(yīng)用。例如,利用一次函數(shù)等有關(guān)知識可以在某些經(jīng)濟活動中作出具體的方案決策。近幾年來一些省市的中考或競賽試題中出現(xiàn)了這方面的應(yīng)用題,這些試題新穎靈活,具有較強的時代氣息和很強的選拔功能。

  1.生產(chǎn)方案的設(shè)計

  例1  某工廠現(xiàn)有甲種原料360千克,乙種原料290千克,計劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品,共50件。已知生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品需用甲種原料9千克、乙種原料3千克,可獲利潤700元;生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品,需用甲種原料4千克、乙種原料10千克,可獲利潤1200元。

  (1)要求安排A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù),有哪幾種方案?請你設(shè)計出來;

  (2)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品獲總利潤是y(元),其中一種的生產(chǎn)件數(shù)是x,試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并利用函數(shù)的性質(zhì)說明(1)中的哪種生產(chǎn)方案獲總利潤最大?最大利潤是多少?

  (98年河北)

    (1)設(shè)安排生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件,則生產(chǎn)B種產(chǎn)品是(50-x)件。由題意得

  解不等式組得         30≤x≤32。

  因為x是整數(shù),所以x只取30、31、32,相應(yīng)的(50-x)的值是20、19、18。

  所以,生產(chǎn)的方案有三種,即第一種生產(chǎn)方案:生產(chǎn)A種產(chǎn)品30件,B種產(chǎn)品20件;第二種生產(chǎn)方案:生產(chǎn)A種產(chǎn)品31件,B種產(chǎn)品19件;第三種生產(chǎn)方案:生產(chǎn)A種產(chǎn)品32件,B種產(chǎn)品18件。

  (2)設(shè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品的件數(shù)是x,則生產(chǎn)B種產(chǎn)品的件數(shù)是50-x。由題意得

  y=700x+1200(50-x)=-500x+6000。(其中x只能取30,31,32。)

  因為 -500<0,   所以  此一次函數(shù)y隨x的增大而減小,

  所以  當x=30時,y的值最大。

  因此,按第一種生產(chǎn)方案安排生產(chǎn),獲總利潤最大,最大利潤是:-500·3+6000=4500(元)。

  本題是利用不等式組的知識,得到幾種生產(chǎn)方案的設(shè)計,再利用一次函數(shù)性質(zhì)得出最佳設(shè)計方案問題。

  2.調(diào)運方案設(shè)計

  例2  北京某廠和上海某廠同時制成電子計算機若干臺,北京廠可支援外地10臺,上海廠可支援外地4臺,現(xiàn)在決定給重慶8臺,漢口6臺。如果從北京運往漢口、重慶的運費分別是4百元/臺、8百元/臺,從上海運往漢口、重慶的運費分別是3百元/臺、5百元/臺。求:

  (1)若總運費為8400元,上海運往漢口應(yīng)是多少臺?

  (2)若要求總運費不超過8200元,共有幾種調(diào)運方案?

  (3)求出總運費最低的調(diào)運方案,最低總運費是多少元?

    設(shè)上海廠運往漢口x臺,那么上海運往重慶有(4-x)臺,北京廠運往漢口(6-x)臺,北京廠運往重慶(4+x)臺,則總運費W關(guān)于x的一次函數(shù)關(guān)系式:

  W=3x+4(6-x)+5(4-x)+8(4+x)=76+2x。

  (1) 當W=84(百元)時,則有76+2x=84,解得x=4。

  若總運費為8400元,上海廠應(yīng)運往漢口4臺。

  (2) 當W≤82(元),則

  解得0≤x≤3,因為x只能取整數(shù),所以x只有四種可的能值:0、1、2、3。

  答:若要求總運費不超過8200元,共有4種調(diào)運方案。

  (3) 因為一次函數(shù)W=76+2x隨著x的增大而增大,又因為0≤x≤3,所以當x=0時,函數(shù)W=76+2x有最小值,最小值是W=76(百元),即最低總運費是7600元。

  此時的調(diào)運方案是:上海廠的4臺全部運往重慶;北京廠運往漢口6臺,運往重慶4臺。

  本題運用了函數(shù)思想得出了總運費W與變量x的一般關(guān)系,再根據(jù)要求運用方程思想、不等式等知識解決了調(diào)運方案的設(shè)計問題。并求出了最低運費價。

  3.營方案的設(shè)計

  例3某新建商場設(shè)有百貨部、服裝部和家電部三個經(jīng)營部,共有190名售貨員,計劃全商場日營業(yè)額(指每日賣出商品所收到的總金額)為60萬元。由于營業(yè)性質(zhì)不同,分配到三個部的售貨員的人數(shù)也就不等,根據(jù)經(jīng)驗,各類商品每1萬元營業(yè)額所需售貨員人數(shù)如表1,每1萬元營業(yè)額所得利潤情況如表2。

  商場將計劃日營業(yè)額分配給三個經(jīng)營部,設(shè)分配給百貨部、服裝部和家電部的營業(yè)額分別為x(萬元)、y(萬元)、z(萬元)(x,y,z都是整數(shù))。

  (1) 請用含x的代數(shù)式分別表示y和z;

  (2) 若商場預(yù)計每日的總利潤為C(萬元),且C滿足19≤C≤19.7,問這個商場應(yīng)怎樣分配日營業(yè)額給三個經(jīng)營部?各部應(yīng)分別安排多少名售貨員?

    (1)由題意得 ,解得

  (2)  C=0.3x+0.5y+0.2z=-0.35x+22.5。

  因為  19≤C≤19.7,  所以  9≤-0.35x+22.5≤19.7,解得  8≤x≤10。

  因為  x,y,z是正整,且x為偶數(shù),所以  x=8或10。

  當x=8時,y=23,z=29,售貨員分別為40人,92人,58人;

  當x=10時,y=20,z=30,售貨員分別為50人,80人,60人。

  本題是運用方程組的知識,求出了用x的代數(shù)式表示y、z,再運用不等式和一次函數(shù)等知識解決經(jīng)營調(diào)配方案設(shè)計問題。

  4.優(yōu)惠方案的設(shè)計

  例4  某校校長暑假將帶領(lǐng)該校市級“三好生”去北京旅游。甲旅行社說:“如果校長買全票一張,則其余學生可享受半價優(yōu)待。”乙旅行社說:“包括校長在內(nèi),全部按全票價的6折(即按全票價的60%收費)優(yōu)惠。”若全票價為240元。

  (1)設(shè)學生數(shù)為x,甲旅行社收費為y甲,乙旅行社收費為y乙,分別計算兩家旅行社的收費(建立表達式);

  (2)當學生數(shù)是多少時,兩家旅行社的收費一樣;

  (3)就學生數(shù)x討論哪家旅行社更優(yōu)惠。

    (1)y甲=120x+240,  y乙=240·60%(x+1)=144x+144。

  (2)根據(jù)題意,得120x+240=144x+144,  解得  x=4。

  答:當學生人數(shù)為4人時,兩家旅行社的收費一樣多。

  (3)當y甲>y乙,120x+240>144x+144,  解得  x<4。

  當y甲<y乙,120x+240<144x+144, x="">4。

  答:當學生人數(shù)少于4人時,乙旅行社更優(yōu)惠;當學生人數(shù)多于4人時,甲旅行社更優(yōu)惠;本題運用了一次函數(shù)、方程、不等式等知識,解決了優(yōu)惠方案的設(shè)計問題。

  綜上所述,利用一次函數(shù)的圖象、性質(zhì)及不等式的整數(shù)解與方程的有關(guān)知識解決了實際生活中許多的方案設(shè)計問題,如果學生能切實理解和掌握這方面的知識與應(yīng)用,對解決方案問題的數(shù)學題是很有效的。

  練習

  1.某童裝廠現(xiàn)有甲種布料38米,乙種布料26米,現(xiàn)計劃用這兩種布料生產(chǎn)L、M兩種型號的童裝共50套,已知做一套L型號的童裝需用甲種布料0.5米,乙種布料1米,可獲利45元;做一套M型號的童裝需用甲種布料0.9米,乙種布料0.2米,可獲利潤30元。設(shè)生產(chǎn)L型號的童裝套數(shù)為x,用這批布料生產(chǎn)這兩種型號的童裝所獲利潤為y(元)。

  (1)寫出y(元)關(guān)于x(套)的函數(shù)解析式;并求出自變量x的取值范圍;

  (2)該廠在生產(chǎn)這批童裝中,當L型號的童裝為多少套時,能使該廠所獲的利潤最大?最大利潤為多少?

  2.A城有化肥200噸,B城有化肥300噸,現(xiàn)要把化肥運往C、D兩農(nóng)村,如果從A城運往C、D兩地運費分別是20元/噸與25元/噸,從B城運往C、D兩地運費分別是15元/噸與22元/噸,現(xiàn)已知C地需要220噸,D地需要280噸,如果個體戶承包了這項運輸任務(wù),請幫他算一算,怎樣調(diào)運花錢最小?

  3.下表所示為裝運甲、乙、丙三種蔬菜的重量及利潤。某汽車運輸公司計劃裝運甲、乙、丙三種蔬菜到外地銷售(每輛汽車按規(guī)定滿載,并且每輛汽車只裝一種蔬菜)

  (2)公司計劃用20輛汽車裝運甲、乙、丙三種蔬菜36噸到B地銷售(每種蔬菜不少于一車),如何安排裝運,可使公司獲得最大利潤?最大利潤是多少?  (1)若用8輛汽車裝運乙、丙兩種蔬菜11噸到A地銷售,問裝運乙、丙兩種蔬菜的汽車各多少輛?

  4.有批貨物,若年初出售可獲利2000元,然后將本利一起存入銀行。銀行利息為10%,若年末出售,可獲利2620元,但要支付120元倉庫保管費,問這批貨物是年初還是年末出售為好?

  答案

  1. (1) y=15x+1500;自變量x的取值范圍是18、19、20。

  (2) 當x=20時,y的最大值是1800元。

  2. 設(shè)A城化肥運往C地x噸,總運費為y元,則y=2x+10060  (0≤x≤200),

  當x=0時,y的最小值為10060元。

  3. (1) 應(yīng)安排2輛汽車裝運乙種蔬菜,6輛汽車裝運丙種蔬菜。

  (2) 設(shè)安排y輛汽車裝運甲種蔬菜,z輛汽車裝運乙種蔬菜,則用[20-(y+z)]輛汽車裝運丙種蔬菜。

  得  2y+z+1.5[20-(y+z)]=36,化簡,得   z=y-12,所以  y-12=32-2y。

  因為  y≥1, z≥1, 20-(y+z)≥1,所以  y≥1, y-12≥1, 32-2y≥1,

  所以          13≤y≤15.5。

  設(shè)獲利潤S百元,則S=5y+108,

  當y=15時,S的最大值是183,z=y-12=3, 20-(y+z)=2。

  4. (1) 當成本大于3000元時,年初出售好;

  (2) 當成本等于3000元時,年初、年末出售都一樣;

  (3) 當成本小于3000元時,年末出售好。

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