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《數與形》課堂實錄

時間:2022-07-02 06:13:26 語文 我要投稿
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《數與形》課堂實錄

  引導語:想要學好數學,無非是從數字和形狀下手,那么相關的《數與形》課堂實錄哪里有呢?接下來是小編為你帶來收集整理的文章,歡迎閱讀!

《數與形》課堂實錄

  一、談話導入

  1、師:同學們,我們學過了哪些數學知識?

  生:分數乘法。

  師:這是關于數的知識。

  生:我們學過小數乘法。

  師:這也是關于數的知識。

  生:我們學過長方體正方體的體積。

  師:這是關于形的知識。

  生:我們學過比。

  師:這是關于數的知識。

  生:我們還學過奇數偶數。

  師:這也是關于數的知識。

  (將以前學過的知識進行整理,都可以分為“數”和“形”兩類)

  2、圖片欣賞。

  師:讓我們來看一幅圖片,圖片中有什么?

  生:花壇。

  師:說具體點。

  生:一個正方形花壇。

  師:在這句話中就既有數、又有形。

  (演示:數:一個 形:正方形 物: 花壇)

  師小結:(錄音中不包括)

  二、探究新知。

  1、從1開始的n個連續奇數相加的和是多少?

  師:n個是幾個?

  生:無數個。

  師:這個n代表多少?可以代表300嗎?

  生:可以。

  師:有可能是300個,有沒有可能是30個?有沒有可能是3個?也就是說,它的個數是不固定的。那它的個數不固定,它的和呢?

  生:也不固定。

  師:可見這個和必定和這個n有關系。那它到底有什么聯系呢?怎么才能知道它有什么聯系?

  師:你有方法嗎?想一想你有沒有好的思路?

  生:可以自己先算一算。

  師:怎么算?

  生:先算出10個,然后再進行推算。

  師:真好。他的意思是把n先假定在10個以內,對嗎?很好的策略。復雜的問題往往要從簡單的開始。那我們就聽你的,把n的個數假定在10個以內,舉一些例子來看一看他們有什么聯系。幾個最簡單?

  生:1個。

  師:1個最簡單,那我們來看。如果有1個這樣的奇數那算式也只能是1,和也是1。

  師:如果有兩個這樣的奇數相加,那算式應該是什么樣子的?

  生:1+3

  師:對嗎?和呢?

  生:4

  師:它們是不是有聯系?繼續。3個。

  生:1+3+5

  師:同意嗎?和呢?

  生:9

  師:再來一個。

  生:1+3+5+7

  師:同意嗎?和是?

  生:16.

  師:我想是不是有同學觀察到了什么?你有什么發現?先在小組說說你的發現,關鍵是下面的算式是不是都有這個規律?任選一個驗證一下。

  師:(巡視指導)任選一個驗證一下,看看下面的算式是不是也有這樣的規律,規律應該是有連續性的。

  2、小組匯報交流。

  師:同學們有發現嗎?誰來說一下你有什么發現。

  生:每個后面的數都是加2,而且都是奇數。

  生:后面得的這個數都是前面這個數的平方倍。

  師:你能找一個數解釋一下嗎?

  生:5,算式是1+3+5+7+9=25

  師:那你說一下5和25的關系。

  生:25是5的平方倍。

  師:25是5的平方。你們有沒有這樣的發現?你們驗證的是哪一個?

  生:我們驗證的是6.

  師:6,6個這樣的奇數相加是多少?

  生:36.

  師:算式是1+3+5+7+9+11=36,也有這個規律。那大家再來看這些是不是都有這個規律?為了便于觀察,我們可以將算式先隱藏起來,大家看一看,確認一下,有這個規律嗎?

  3、小結。

  師:按照剛才這個同學的說法,當有1個這樣的奇數相加的時候,它的和就是1×1;也就是1的平方;當有2個這樣的奇數相加,它的和4就是2的平方;9呢?3的平方;16呢?4的平方;25呢?5的平方。依次這樣下去,看來真的有這樣的規律。以此類推,如果有20個這樣的連續奇數相加,你覺得它的和應該是多少?

  生:400.

  師:怎么算的?

  生:20×20=400

  師:那如果有100個這樣的連續奇數的和應該是多少?

  生:100×100=10000.

  師:以此類推,如果有n個這樣連續奇數相加的和應該是多少?

  生:n的平方。

  師:齊讀。

  生:從1開始的n個連續奇數相加的和是n的平方。

  師:這個規律有意思嗎?從1開始的幾個連續奇數,它的和竟然可以用它的個數的平方來算。你覺得奇怪嗎?你不奇怪能不能來解釋一下?為什么這樣連續奇數相加是它的和可以用個數的平方來算?

  生:比如說5,就是5個數相加,它的和就是5的平方。

  生:可以用簡便算法來試試。10個連續奇數,可以看做是1+19,3+17,5+15,7+13,9+11,就是5個20相加。

  師:你用了另一種算法,但是仍然不能解釋為什么它們的和要用個數的平方來算。

  4、小組交流。

  師:說實話,同學們,如果這個道理從數的道理來解釋,還真的不太好解釋,那該怎么辦?華羅庚說過:“不懂就畫圖”,我們為了讓大家聽得更清楚,老師準備了一幅畫,我們來拼圖。我來做個示范。哪個最簡單?

  生:1

  師:我用1個紅色的正方形來代表1,1行而且1個,1乘1還是1,下一個1+3,你能用這樣的圖形來表示出來嗎?拼出個1+3行不行?大家小組內都有這樣的小正方形,拼一拼。

  (巡視指導)

  5、小組展示。

  師:請問,這可以表示1+3嗎?(指著橫排成一排的)

  師:“1”在哪里?(紅色)“3”呢?(黃色)這個是不是可以表示1+3?

  師:這個正方形可以表示1+3嗎?

  生:可以。

  師:“1”在哪里?(紅色)“3”呢?(黃色)。這都表示1+3.關鍵是我們不光是能夠表示1+3,還要解釋1+3為什么用2×2來算。那哪一個圖形既能表示1+3,又能表示2×2呢?

  師:說一說,2×2在哪里?

  生:每行有兩個,有兩個2,就是2×2。

  師:有兩列,而且有兩行,就表示2×2。看來,拼成正方形,就可以表示從1開始的這樣的連續奇數相加,還可以表示一個數的平方。這樣的1+3是不是也可以用2×2來算?那下一個,1+3+5又該怎么拼?你來試試看。

  (學生拼圖:1+3+5,教師巡視。)

  6、

  師:大家看,你們拼成一個正方形了嗎?我看到大家拼的正方形的樣子都不太一樣,顏色的排列不同,這位同學排的好不好?好在哪里?

  生:最小的數量在最里面,中間的數量在中間,最大的數量在最外邊。

  師:對,大家雖然都拼成了正方形,但是我們數學上要講究順序、規律、條理,這位同學拼的非常好。這樣,你能解釋1+3+5用3的平方來算呢?

  生:因為他們橫著豎著都是三個。

  師:橫著每行有三個,而且有三行,所以可以用3的平方來計算。那1+3+5+7你會拼了嗎?方塊已經沒有了,讓我們來想一想,如果在這個(1+3+5)的基礎上再加上7個,你覺得這7個可以怎么擺?

  生:按照原來的方法再擺一層。

  師:繼續想,拼完之后又是什么圖形?

  生:正方形。

  師:這個正方形的每條邊上有幾個小方塊?有幾行?(課件演示不同的顏色),這些不同的顏色分別表示幾?為什么1+3+5+7可以用4的平方來算?

  生:因為這幾個不同顏色的方塊拼在一起就組成了大大的正方形,這個正方形可以拼成4行,每行有4個,可以用4的平方來計算。

  師:同學們,如果繼續這樣拼下去,再加上一個奇數,9,現在有幾個奇數?而且小正方形每條邊上的個數也變成5個,而且有這樣的5行,所以它的和可以用5的平方來算。那,繼續這樣拼下去,再增加一個奇數,11,它的總和可以用6的平方來算。再來一行呢?可以用7的平方,以此類推,如果有n個這樣的連續奇數,那就可以用n的平方來算。

  師:這個規律你現在弄明白了嗎?我們是怎么弄明白的?

  生:在我們不懂得時候就可以用形狀來解。

  生:形可以很簡便的了解不會的問題。

  7、小結

  師:是的,數是很抽象的,很多道理我們需要借助形的力量來理解,把數化成形之后,可以使復雜的數量關系變得更加的清楚、明白,我們把這樣的過程叫做“化數為形”,然后以形來助數,幫助理解數量關系。

  8、

  師:那數的規律可以借助圖形來幫助思考,那形的變化背后是不是也隱藏著數的規律呢?

  師:我來口述一個問題,大家來思考。有一種桌子,四面坐人可以坐8個人,如果兩個桌子拼到一起就可以坐12個人,3張桌子拼到一起可以坐16個人,這樣的100張桌子拼到一起可以坐多少個人?

  師:你聽懂了嗎?其實這個事挺簡單的,但是用話說卻說不明白,你們有沒有好的方法?

  生:畫圖。

  師:如果畫出來的話,(課件演示)1張桌子可以坐8個人,2張桌子可以坐12個人,3張桌子可以坐16個人,100張桌子可以坐多少人?小組討論交流,把答案寫在作業紙上。

  (小組討論交流。)

  師:小組同學來說一說你們的做法。

  師:請你借助圖形來說一說你為什么這樣做?

  生:我們組算的是一共有404人。100張桌子拼在一起,這一邊也就是它的長邊一共有400個人,再加上兩頭有4個人,一共有404人。

  生:它每張桌子的兩邊坐4個人,他有100張桌子,再加上邊上就是它的寬分別坐2人,400+4=404人。

  師:算式就是100×4,100×4的意思就是每張桌子兩邊都坐4個人,100張桌子就做400個人,旁邊還有4人,所以需要在加上4,等于404人。

  師:還有其他做法嗎?

  生:我們小組是這樣想的,把第一張桌子去掉的話,每增加一張桌子就增加4個人,8+4×99=404人。

  師:算式是這樣的,8先不看,多了99張桌子,每多一張桌子就多4個人,所以多了4×99這些人,然后再加上8人等于404人

  師:我想問一下,這是一個圖形的問題,為什么你們不去畫圖,卻用數來算呢?

  生:老師我感覺畫圖太麻煩了,因為它有100張桌子。

  師:對,畫圖太麻煩了,這時候需要借助數的力量,把形的計算問題用數來做會更加的快速、簡便而且準確。那我們把這樣的過程叫做化形為數,然后以數來解形。(板書)

  師:同學們,回顧這兩個例子,在第一個例子當中,數的問題可以借助圖形來思考,而第二個例子當中,形的知識可以借助數來計算,數和形各有優點,它們一一對應而且可以互相轉化,互為補充,這就意味著要求我們在解決問題的時候要把數和形結合起來,這在數學上是一種重要的思想,就叫“數形結合思想”。

  師:對于“數形結合”,我國數學家華羅庚先生有一段話非常好。讓我們一起讀一遍:

  生:數缺形時少直覺,形缺數時難入微。數形結合百般好,隔離分家萬事休。

  師:數形結合百般好,可是怎樣做到數與形的結合呢?我想,這既然是一種思想,那我們還是要落腳到這兩個數上,“思”和“想”,也就是要見“數”思“形”,見“形”想“數”。 試試你能不能夠做到。

  9、鞏固練習

  師: 有這樣一道算式(3×2),你能夠想到什么圖形?

  生:我能想到一個長方形。

  師:為什么?

  生:因為可以想象它的長是3,高是2,6就是他們的面積。

  師:大家說有沒有道理?可見數的變化背后卻是隱藏著形。

  師:再來看,這是一位同學畫的一副圖形,它用來表示一個數,你覺得它是那一個數呢?

  生:我覺得是3.5,因為前面它畫的三根一樣的線表示3個整數,后邊畫了前面一根線的二分之一,所以變成3.5

  師:有沒有道理?它可以表示35嗎?

  生:可以

  師:為什么可以?

  生:比如說他前面三個整數可以想象一個整數為10,然后就是35.

  師:有這樣一個數量關系,一袋大米中60千克,吃了四分之三,你能夠想到用什么圖形來表示它?

  生:我想到用一個邊長為4厘米的的長方形來表示。

  生:把一個長方形平均分成四份,每份是1厘米。

  師:那即是說把它平均分成4份,吃了的是3份。

  10、

  師:這樣一個圖形,你會想到是幾的平方?為什么?

  生:因為這個正方形邊長均為3,

  師:邊長為3可以用3的平方來表示,我們把3的平方還原成像第一張那樣幾個連續奇數的相加這個算式,這應該是什么樣子的?

  生:1+3+5

  師:那這樣的一個算是又可以用幾的平方來表示?

  生:應該是4的平方,因為把它倒過來后就等于1+3+5+7,所以可以用4的平方來表示,

  師:那4的平方你又能想到什么圖形?

  生:可以想象出一個正方形。

  師:多大的正方形?

  生:邊長為4的正方形。

  師:如果把上邊的算式合起來,和應該是多少?

  師:想一想,3的平方等于幾?4的平方等于幾?9+16=25,是5的平方

  師:5的平方你又能想到什么圖形?

  生:邊長都是5厘米的正方形。

  師:大家看,一個有趣的算式出現了,3的平方加4的平方等于5的平方,這個有趣的算式背后還隱藏著有趣的圖形,大家看,直角三角形它的一條直角邊如果是3,另一條直角邊是4,那他的斜邊就一定是5,這是我們初中要學的一個重要的定理,叫做勾股定理。

  師:大家看,數形結合的思想不但從小學階段一直在陪伴著我們,更重的是對于我們初中乃至以后的學習有著十分重要的意義,我想,這也正是我們為什么要在這里講這樣一節課的目的和價值所在。下面給大家介紹一些有意思的數。

  像當中的這些書化成圖形都是正方形,我們就把這樣的數叫做“正方形數”;按照這樣的叫法,這些數叫做“三角形數”;這些可以叫“梯形數”這些呢?“五邊形數”,像這樣的數還有很多。我們現在再來感受一下這些數。你覺得這些數它還只是數嗎?它有形狀嗎?這些形它還只是形嗎?它有數嗎?數和形,形和數能分得開嗎?所以數學上也沒把他們分開,我們就把這樣有形狀的數叫做“形數”,知道形數是誰發現的嗎?他叫“畢達哥拉斯”,他有一個著名的理論,他認為世界上萬事萬物的背后都隱藏著數的規律,它還舉了一個例子,1可以用1個點來表示,2用兩個點來表示,那它就可以練成一條線,3個點就可以煉成一個平面,不同平面的4個點連在一起,他就是一個立體圖形。大家想,世界上的萬事萬物背后,是不是都是以或點、或線、或面、或體這樣的形式存在的,所以他們認為,“萬物皆數”。

  這節課馬上就要結束了,老師問問大家,學完這一節課后你有什么體會?或者說你對于數和形的認識有沒有發生一些改變?

  生:數和形它們兩個是不能相離得的。

  師:你以前是怎么認識的?

  生:我以前認為給我一個數我就去想他做題的答案。

  生:我以前認為光用一個數就能解開一個題,現在我知道了數和形是形影不離的。

  師:接著這位同學的話來說,如果把你們以前那種認識歸結為“看形是形、看數是數”的話,那只是數學學習的第一境界;那你覺得第二境界應該是什么樣子的?“看形不是形,看數不是數”。 看形不是形,是什么?看數不是數是什么?也就是說,數形要結合。

  下課!

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