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張齊華課堂實錄
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師：我來測測大家的反應(yīng)怎么樣？上課！
生：起立。
師：同學(xué)們好！
生：老師好！
師：請坐！
師：生活當中經(jīng)常遇到各種各樣的數(shù)，對嗎？比如說，誰愿意告訴我你今年多大了？
生1：我今年12歲。
師：真不錯，長這么小個兒已經(jīng)12歲了。你！
生2：我今年11歲。
師：瞧，人家長的高，11歲。你！
生3：我今年也是12歲。
師：也是12歲。行！其實光知道自己的年齡并不稀奇，有誰知道自己爸爸多大了？
生1：我爸爸37歲。
師：37歲，挺年輕的。
生2：我爸爸42歲。
師：好，再來一個。你！
生3：我爸爸39歲。
師：真好！同學(xué)們看，自己的年齡知道嗎？
生：知道。
師：爸爸的年齡知不知道？
生：知道。
師：像這些都知道的數(shù)，數(shù)學(xué)上給他這個名稱。板書：已知數(shù)
師：叫已知數(shù)，咱們都知道了是不是？那既然有已知數(shù)，就一定有（ ）。
生：未知數(shù)。
師：好感覺，還有未知數(shù)。板書：未知數(shù)
師：那么自己的年齡、爸爸的年齡對大伙來說這些都是已知數(shù)。那生活當中對你們來說是未知數(shù)呢？舉個例來說一說，你來。
生1：大海有多深？
師：大海有多深？對他來說是個未知數(shù)。真好，你呢？
生2：全世界有多少人？
師：全世界有多少人口？你！
生：天上有多少顆星星？
師：真好!看來生活中已知數(shù)有很多，未知數(shù)（ ）。
生：也很多。真好，再舉個例子。剛才是誰說爸爸的年齡是已知數(shù)的？舉手告訴我，你爸爸的年齡多大了？
生：37歲。
師：你知道你爸爸銀行卡里有多少錢嗎？
生：他說臨死前會告訴我。
師：用一種很智慧的方式告訴了我，這會你還不知道，多聰明的一個女孩。她既要說明現(xiàn)在是一個未知數(shù)，但是早晚會成為一個（ ）。
生：已知數(shù)。
師：看來，現(xiàn)在對她來說暫時是一個未知數(shù)。
師：看，今天來了很多聽課老師，目前來了一共多少位老師知道嗎？
生：不知道。
師：什么數(shù)？
生：未知數(shù)。
師：這樣的未知數(shù)多不多？
生：多。
師：那么張老師問大家一個問題，實話實說。是喜歡已知數(shù)還是喜歡未知數(shù)？你來！
生1：我喜歡未知數(shù)。
師：為什么？
生1：因為未知數(shù)有探究性。
師：真好！附小的孩子不一樣。還有什么？你！
生2：我也喜歡未知數(shù)，因為未知數(shù)越多，我就能知道越多的已知數(shù)。
師：棒啊！瞄著每一個未知數(shù)等著它成為已知數(shù)，對吧。還有誰來？你！
生：我喜歡已知數(shù)，因為只有有了已知數(shù)，你才能求出未知數(shù)。
師：太棒了，一個比一個卓越優(yōu)秀。喜歡未知數(shù)的告訴我是因為未知數(shù)能讓我們更多地去探索。但是，不管你喜歡什么數(shù)，有一點是形成共識的，就是遇到未知數(shù)，我們總會想方設(shè)法把它變成（）。
生：已知數(shù)。
師：那未知數(shù)怎樣才能變成已知數(shù)呢？
生：你比如，她爸銀行卡里的錢不知道？別等了到那一天了，有什么辦法能知道？大伙給她想想辦法？你！
生1：可以去問。
師：直接問爸爸，可不可以。直接問就是一個好辦法呀！還有沒有好辦法？你！
生2：去銀行輸他的帳號查。
師：專業(yè)。還有其他辦法嗎？你！
生：爸爸取錢的時候看。
師：可以，偷偷瞄兩眼。好，臺下那么多老師，到底有多少？也是一個未知數(shù)。怎么才能變成已知數(shù)？你來！
生1：問問工作人員。
師：問問工作人員，可不可以。
生2：用我們知道的已知數(shù)來求。
師：好，想辦法借助已知數(shù)來求。看來，要獲得一個未知數(shù)有兩種思路，一種是思路是想辦法直接去了解，對不對？還有一種是根據(jù)已知數(shù)想辦法來求知未知數(shù)，對吧？換個話題好不好？剛才我們討論了銀行的錢，臺下老師的人數(shù)。下面我們知道張老師今年多大嗎？目前張老師多少歲？對你們來說是個（ ）。
生：未知數(shù)。
師：數(shù)學(xué)上未知數(shù)怎么表示？
生：x.
師：可以用字母x 表示，當然y、z也都可以。同學(xué)們，想不想讓它變成一個已知數(shù)？
生：想。
師：有什么辦法？我就站這兒，有什么辦法求出來？
生：問你一些信息，然后設(shè)法求出來。
師：直接問我。差不多就這個思路了，今天張老師就和大家來學(xué)習(xí)不通過直接了解，怎樣想辦法用別的思路找到未知數(shù)的結(jié)果？想不想試試？
生：想。
師：張老師的年齡是一個未知數(shù)，誰的年齡是一個已知數(shù)？
生：我們的。
師：你們的年齡是一個已知數(shù)，誰來？誰的年齡是個已知數(shù)？你來。
生：11。
師：你11歲，什么數(shù)？
生：已知數(shù)。
師：寫下。師板書。
師：同學(xué)們！現(xiàn)在要是張老師告訴你，我的年齡和他的年齡之間的某一種關(guān)系，你們能不能知道張老師的年齡？
生：能。
師：確定？我們來試一試。看誰的反應(yīng)最快。
師：看屏幕，1、2，悄悄的告訴你，張老師的年齡比他大，如果我的年齡減去20歲，我的年齡還比他大。實話告訴我，能確定嗎？
生：不能。
師：可能是多少歲？
生1：可能是三十多歲。
師：三十多，能再具體點嗎？有可能是三十多少？你來！
生2：32。
師：32，有道理。還可能是三十多少？你！
生3：34。
師：34，還有沒有可能？你！
生4：33。
師：能不能確定？
生：不能。
師：看來，光知道這個信息還不行，換一個好不好！看，1、2。
師：如果我的年齡減去30歲，我的年齡比他小。實話告訴我，能確定嗎？
生：不能。
師：還是不能，張老師就好奇了。你看，這么跟你講，你也不能確定。那么跟你講，你也不能確定。你到底想要我說什么？你才能確定呢？你說！
生1：告訴你的年齡是我們的幾倍？
師：可以嗎？還有？你說！
生2：你的年齡比我們大多少？
師：也就是說，幾倍也好，比他大多少也好，你得確定下來我的年齡和你的年齡到底有怎樣的相等關(guān)系？對吧？那就出來了哦！誰要知道了把手高高舉起來。
師：如果我的年齡減去25歲，我的年齡就和他正好相等了。告訴我多大？
生：36.
師：我就有問題了。同學(xué)們，你看，這三句話都表示出了我的年齡和他的年齡之間的一種關(guān)系，對不對？那為什么前面兩個出來以后不知道我的年齡？而第三個一出來，大伙都確定了，為什么？前后左右商量商量為什么？
生前后討論
師：好了沒有？為什么前面兩個都不行，后面一個卻成功了？你來！
生1：我認為前兩個只告訴你張老師的年齡和他之間的關(guān)系，沒告訴你準確的等量關(guān)系。
師：多專業(yè)的一個詞。他的意思是你給了我關(guān)系還不行，還得告訴我是怎樣的等量關(guān)系，真專業(yè)。不過同學(xué)們，光這么說我估計有的同學(xué)還不能領(lǐng)會，從數(shù)學(xué)的角度，我們再琢磨琢磨，好不好？
生：好！
師：我有一個建議，我們把三種關(guān)系用含有字母的式子表示出來，看看大家還能發(fā)現(xiàn)什么？第一個。
師：我的年齡怎么表示？
生：x-20>11（師板書）
師：反應(yīng)真快！x-20>11（師板書）真好！第一句話我們就用這一個式子表示出來了，第二句話行不行？一起說！
生：x-30<11（師板書）
師：一起看第三個，一起來。
生：x-25=11（師板書）
師：這是能找到年齡的一個式子，這是不能找到年齡的式子，比較一下，發(fā)現(xiàn)了什么？
師：不用舉手，發(fā)現(xiàn)了什么？一起說。
生：上面兩個是>或<，下面是=。
師：可別小看了這個=，就象剛才這位女同學(xué)說的，正是因為這個=，我們就在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立了一種什么關(guān)系？
生：等量關(guān)系。
師：等量關(guān)系。（板書）
師：孩子們，像這樣在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立的等量關(guān)系的式子，你知道數(shù)學(xué)上叫什么嗎？
生：方程。
師：未知數(shù)和已知數(shù)之間建立的等量關(guān)系式，數(shù)學(xué)上我們就把它叫做方程。（板書方程）這兩個叫方程嗎？
生：不是。
師：大聲找理由，說為什么？
生：沒有等號。
師：沒有等號，也就是未知數(shù)和已知數(shù)之間沒有（ ）。
生：等量關(guān)系。
師：這樣看來，只有在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立等量關(guān)系的式子才是（ ）。
生：方程。
師：學(xué)到現(xiàn)在，相信大家對方程已經(jīng)有了初步的認識。看，張老師又給大家?guī)砹耸裁矗看蠹铱雌聊弧?/p>
生：蘋果、梨、西瓜、西紅柿、草莓。
師：這會兒知道他們有多重嗎？
生：不知道
師：什么數(shù)？
生：未知數(shù)
師：想不想讓它們變成已知數(shù)？
生：想
師：有一樣工具可以實現(xiàn)這個目的，告訴我是什么？
生：…… （太土） 天枰、砝碼
師：借助天枰和砝碼可以讓它們變成已知數(shù)，是吧？不過我有個問題，同學(xué)們，是不是我有了天枰和砝碼就一定能找到這幾個水果的重量呢？別著急，課的一開始呀張老師利用這些工具進行了四次測量的活動，想不想看看測量的結(jié)果？
生：想
師：瞪大眼睛，各不相同。一……藏在心里，二……三……四……看完了沒有？我只有一個問題：看這四幅圖告訴我，是不是所有的水果的重量你都知道了？
生；不是
師：有沒有一些已經(jīng)知道了？別告訴我，我給大家一個問題好不好？觀察屏幕，你覺得借助這幾個天枰圖，哪幾種水果的重量你已經(jīng)知道了？噓~為什么？哪幾種水果的重量現(xiàn)在還不知道，又是為什么？在我們的前后四人小組里邊好好的商量商量好不好？趕緊，開始！
生：（討論）
師：好了沒有？看看大伙兒經(jīng)過討論意見是否一致？告訴我，誰已經(jīng)知道了？……都同意？好，看樣子，這兩種水果的重量已經(jīng)知道了，那么我的問題就來了同學(xué)們，奇怪了，二號也有天枰也有砝碼，為什么西瓜的重量不知道呢？為什么？你說。
生：西瓜重量加50千克的砝碼大于200千克，它不足于建立等量關(guān)系。
師：這個不足于說得好，天枰？？以后能找到等量關(guān)系嗎？那這個時候我們能根據(jù)已知的數(shù)找到未知數(shù)嗎？
生：不能
師：真好，不能建立等量關(guān)系，所以找不到西瓜的重量。哎，三號，三號可是等量關(guān)系噢，怎么也不行呢？
生：因為它沒有已知數(shù)，是兩個未知數(shù)，兩個未知數(shù)沒法算出等量關(guān)系
師：話快要到頭的時候稍微繞了一下，有沒有等量關(guān)系？（有）只可以左右兩邊都是未知數(shù)，沒有已知數(shù)，所以找不到解決問題的突破口，對不對？（對）那這樣看來，它不含等量關(guān)系，它沒有已知數(shù)，那什么情況下才能找到未知數(shù)的結(jié)果？既得有（已知數(shù)）也得有（已知數(shù)）還得建立（等量關(guān)系）。好，那這樣看來，一和四可不可以？（可以）正因為他們建立了等量關(guān)系，那你能不能結(jié)合一和四的這兩幅圖列出兩個方程，行不行？好，打開作業(yè)本，把這兩個方程都寫下來，我請兩個同學(xué)上來寫，一人寫一個，來，你一個，你一個。……你寫第一個好不好？就寫這邊，你寫四號……真好
（學(xué)生寫）
師：好了沒？我們一起來看一下，重新看一下四號，可不可以？一號，X+50=200，對嗎？都寫對的舉手，手放下，真好。哎，那我問一問，這里的二號和三號可不可以列出方程？
師：其實呀，這里的三號也是可以列出方程的，只不過它不是我們小學(xué)階段要研究的方程，二我們小學(xué)階段只研究在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立等量關(guān)系所形成的方程。明白了嗎？真好
師：好，剛才我們已經(jīng)認識了方程，下面如果讓你們找一找方程。行不行？老師這兒給大家?guī)砹?個式子，那這8個式子當中哪些是方程呢？哪些不是呢？想試試嗎？（想）一起來看啊……
師：可是很遺憾的是，一不小心啊，有兩個式子上面被滴了一滴墨水，現(xiàn)在有點兒看不大清楚了，至于說那墨水的背后到底是已知數(shù)還是未知數(shù)張老師已經(jīng)記不得了。孩子們，這8道式子里有方程嗎？（有）
師：倆問題，一、哪幾個是方程，哪幾個不是。二、為什么他們不是方程。好不好？還是老規(guī)矩，前后四個人商量商量，說說你的看法。
（學(xué)生討論）
師：好了，這樣，把最有把握的說出來，好不好？來，從前往后，幾號是方程？（1號）然后呢？（4號）然后呢？（5號）還有？也就是7號有爭議，有爭議就先放下來，
師：未知數(shù)和已知數(shù)都沒有建立等量關(guān)系，沒有等量關(guān)系能算方程嗎？誰有爭議？7號有爭議？為什么7號有爭議？
生：7號如果把墨水揭開以后像2號一樣是一個整數(shù)的話這不是未知數(shù)的話，那么它就不是一個方程，那如果是X或一個未知數(shù)的話它就是方程
師：如果是一個未知數(shù)的話是有可能還是一定是方程？（一定）把掌聲送給這位姑娘，分析問題非常的精辟。8號有爭議嗎？（沒有）8號不是也有一個墨跡嗎？說說什么原因？
生：沒有未知數(shù)
師：要不要揭開看看？
生；不要
師：揭開來也沒用，如果是一個未知數(shù)為什么也不行呢？
生：沒有等量關(guān)系
師：沒有等量關(guān)系都不行嗎？是不是？那現(xiàn)在誰能用一句話來說說什么是方程？說出來讓我聽聽？
生：在已知數(shù)與未知數(shù)之間建立等量關(guān)系
師：建立的等量關(guān)系式我們就把它叫做方程？好了，既然是這樣的話，那行，張老師給大家?guī)硪恍﹫D，這些圖都藏著等量關(guān)系式，你能根據(jù)隱藏的等量關(guān)系式列出方程嗎？（能）有信心嗎？（有）第一個，準備——舉手就可以了
生：X+50=100
師：再自然不過了，左邊X+50，右邊100.等量關(guān)系有沒有？（有）5個同樣的球，一起說——（6X=50）還6X，幾X？（5X）對，左邊是5X，右邊是50，有沒有建立等量關(guān)系？（有）真好！挑戰(zhàn)一下好不好？非常簡單，誰來？
生：80+X=200
師：80+X=200可以嗎？（可以）倒過來，X+80=200可以嗎？（可以）這樣似乎同樣的問題可以留出不同的方程，對不對？想試試嗎？這樣行，張老師真的要出難題了，注意觀察，線段圖能列出方程嗎？記住我們前面的約定，想不想在小組里試一試？我們來比一比，那個小組思路最開闊，根據(jù)不同的等量關(guān)系列出不同的方程，可不可以？來，三人小組，趕快！
（學(xué)生討論）
師：可以了嗎？（可以）
師：我看到這一小組只有幾個？（2個）后來一商量幾個？（4個）了不起！誰來一口氣都把它報出來，我就佩服你。
生：X+350=800,350+X=800,800-350=X
師：還有嗎？好，他就找到這三個，別著急，我先把這三個找出來，你們還有補充嗎？
生：800-350=X
師：找到?jīng)]有，真好。800-350=X，都說附小的孩子厲害，就這一幅圖找到了幾個方程？
生：四個
師：別蒙我，光找方程不稀奇，這里的方程你根據(jù)什么等量關(guān)系列式的，我就真佩服你，第一個。這邊機會比較少，你來說
生：我是根據(jù)少年宮到第二個豎線的，他走了X米
師：也就是走了的米數(shù)
生：然后加上剩下的米數(shù)，總共是800米，它們加起來就是800米
師：可不可以？
生：可以
師：如果用規(guī)范的語言那等量關(guān)系式就是：用已走得米數(shù)+還剩的米數(shù)=總共的米數(shù)，可不可以？
生：可以
師：真好！第二個誰來說說？
生：還剩的米數(shù)+一走的米數(shù)=800
師：可不可以？一起來：也就是還剩的米數(shù)+已走得米數(shù)=總共的米數(shù)，可不可以？（可以）真好！
師：第三個，一起來。
生：一共的米數(shù)-已走得米數(shù)=還剩的米數(shù)
師：有列出了一個獨特的方程，最后一個？
生：用一共的米數(shù)-還剩的米數(shù)=已走得米數(shù)
師：你們說了四個等量關(guān)系，不是蒙的，那是正兒八經(jīng)經(jīng)過思考想出來的，不過我要考考你們，在四個方程中有一個方程通常不用的，你猜一猜是哪個方程？猜錯了沒有關(guān)系，說說你的想法
生：350+X=800
師：覺得這個不太好？
生：800-X=350
師：為什么是這個？
生：換成第四個是比較好的
師：真好
生：800-350=X最合適。
師：為什么呀？
生：我們通常不求未知數(shù)的，求已知數(shù)的。
師：它們就有矛盾了，一個說是求已知的數(shù)，一個說是求未知數(shù)的，有意思
生：方程是未知數(shù)和已知數(shù)的等量關(guān)系，而第四個是已知數(shù)與已知數(shù)的等量關(guān)系
師：哎，有點感覺了，據(jù)我了解，很多同學(xué)覺得有一個方程學(xué)生認為特好，四號，你會覺得方程特舒服，這個方程算起來好簡單，但是我站在這個小伙子這邊告訴你，你們覺得很好的方程是我們不常用的方程，你們感覺不太好的方程恰恰是我們數(shù)學(xué)上的好方程，你覺得心理上能接受嗎？
生：能！
師：我還擔心你不能接受呢，坦率的說，我在小時候特不能接受，好端端的一個方程你非得說它不行，不過不適應(yīng)沒關(guān)系，當我們從計算進入到方程領(lǐng)域時我們會遇到新的規(guī)則，許多新的思考方式，今天不適應(yīng)沒關(guān)系，隨著方程的學(xué)習(xí)，相信同學(xué)們能適應(yīng)的，有信心嗎？
生：有，能適應(yīng)！
師：同一問題，我們能列出不同的方程，有一個方程不太好先藏起來。那么，倒過來，不同的問題有沒有可能列出相同的方程？有沒有可能？（有可能）想試試嗎？這個小伙子特別嚴謹，說有可能，好！我們來看，準備好，看誰最先列出這個方程，預(yù)備~
生：4X=320
師：并列第一名，確認（確認），再來
生：4X=320
師：第三~~孩子們已經(jīng)充滿期待
生：4X=320
師；三個方程一出，大伙兒都笑了，為什么？
生：都一樣的
師：這三個問題一樣嗎？（不一樣）第一個賣書包，第二個開汽車，第三個比藏書，三個不同的問題列出一樣的方程，這是一個有挑戰(zhàn)性的問題，同桌互相商量一下
（學(xué)生討論）
師：為什么？
生：把320分成4個等量的，我們不知道而已
師：從一個不同的地方講到骨子里的不同，了不起
生1：數(shù)據(jù)一樣
生2：方程不是一個特定的單位，放在哪兒都可以
師：好樣的
生：它們數(shù)量關(guān)系是一樣的
師：找到了核心的問題，掌聲送給他。
師：數(shù)量關(guān)系真的一樣嗎？一樣不一樣？我們一起來看看……多少？
生：XXXX
師：多少？
生：4X
師：再來，每小時
生：XXXX
師：四個X是多少
生：320
師：兒子是X，老爸是——
生：XXXX
師：合起來是多少？
生：320
師：這樣看起來雖然有的是賣書包，有的開汽車，有的比藏書，骨子里一樣不一樣？（一樣）都表示四個X，合起來320，也就是等量關(guān)系，既然這樣，那我們能不能在生活中再找一個問題，最后列一個方程，還是表示4X=320，你們猜猜看能不能找到？同桌討論一下，能不能找到這樣的問題？
師：好了沒有？誰來說一下？
生：賣黑板，一塊黑板X元，四塊黑板320元
師：看起來這樣的黑板有點便宜啊，可不可以？（可以）四塊黑板合起來320元，打包賣掉了，來個不一樣的。
生：賣魚的時候，一條魚X元，4條魚一共320元
師：這什么魚啊？看來味道不錯，好貴的魚啊，還有沒有？
生：小軍跑了X米，小華跑了X米，小東跑了X米，小林跑了X米，他們一共跑了320米
師：四人是商量好的，每人跑的一樣多，最后合起來一共跑了320米，可不可以列出4X=320？（可以）還有這么多的學(xué)生舉手，我想問一個問題，生活中滿足4X=320的例子多不多？（多）有多少個？（很多個）確認嗎？（確認）
師：這些問題，上至天，下至地，各不相同，有什么事一樣的？
生：數(shù)量關(guān)系是一樣的。
師：真好，也就是具有相等的數(shù)量關(guān)系，我們就可以列出同樣的方程，換句話說，無論你的問題怎樣變化，只要等量關(guān)系相同，都可以用幾個方程把它搞定？（一個）這就是方程最大的魅力之所在。好了，今天這節(jié)課就學(xué)到這兒。