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二次根式教學設計

時間：2022-08-01 16:46:03 設計我要投稿

二次根式教學設計

　　作為一位兢兢業業的人民教師，編寫教學設計是必不可少的，教學設計是教育技術的組成部分，它的功能在于運用系統方法設計教學過程，使之成為一種具有操作性的程序。優秀的教學設計都具備一些什么特點呢？下面是小編精心整理的二次根式教學設計，僅供參考，歡迎大家閱讀。

二次根式教學設計

二次根式教學設計1

　　一、教學目標：

　　（一）知識與技能：

　　1．了解二次根式的概念，會確定二次根式成立的條件。

　　2.會用二次根式性質進行有關計算。

　　了解逆用公式在實數范圍內因式分解。

　　（二）過程與方法：體驗性質的推導過程，感受由特殊到一般的方法。

　　（三）情感態度：激發對數學的興趣。

　　二、教學重點：

　　二次根式成立的條件，雙重非負性；

　　用性質進行計算。

　　三、教學難點

　　性質的逆用。

　　四、教學準備：課件

　　五、教學過程

　　(一)復習提問

　　1．什么叫二次根式？

　　2．下列各式是二次根式，求式子中的字母所滿足的條件：

　　(3)∵x取任何值都有2x2≥0，所以2x2+1＞0，故x的取值為任意實數．

　　(二)二次根式的簡單性質

　　上節課我們已經學習了二次根式的定義，并了解了第一個簡單性質

　　我們知道，正數a有兩個平方根，分別記作零的平方根是零。引導學生總結出，其中，就是一個非負數a的算術平方根。將符號“”看作開平方求算術平方根的運算，看作將一個數進行平方的運算，而開平方運算和平方運算是互為逆運算，因而有：

　　這里需要注意的是公式成立的條件是a≥0，提問學生，a可以代表一個代數式嗎？

　　請分析：引導學生答如時才成立。時才成立，即a取任意實數時都成立。我們知道如果我們把，同學們想一想是否就可以把任何一個非負數寫成一個數的平方形式了．

　　例1

　　計算：

　　分析：這個例題中的四個小題，主要是運用公式。其中(2)、(3)、(4)題又運用了整式乘除中學習的積的冪的運算性質．結合第（2）小題中的`，說明，這與帶分數。因此，以后遇到，應寫成，而不宜寫成。

　　例2

　　把下列非負數寫成一個數的平方的形式：

　　(1)5；

　　(2)11；

　　(3)1.6；

　　(4)0.35．

　　例3

　　把下列各式寫成平方差的形式，再分解因式：

　　(1)4x2-1；　　　(2)a4-9；

　　(3)3a2-10；　　　(4)a4-6a2+9．

　　解：(1)4x2-1

　　=(2x)2-12

　　=(2x+1)(2x-1)．

　　(2)a4-9

　　=(a2)2-32

　　=(a2+3)(a2-3)

　　(3)3a2-10

　　(4)a4-6a2+32

　　=(a2)2-6a2+32

　　=(a2-3)2

　　(三)小結

　　1．繼續鞏固二次根式的定義，及二次根式中被開方數的取值范圍問題．

　　2．關于公式的應用。

　　(1)經常用于乘法的運算中．

　　(2)可以把任何一個非負數寫成一個數的平方的形式，解決在實數范圍內因式分解等方面的問題．

　　(四)練習和作業

　　練習：

　　1．填空

　　注意第(4)題需有2m≥0，m≥0，又需有-3m≥0，即m≤0，故m=0．

　　2．實數a、b在數軸上對應點的位置如下圖所示：

　　分析：通過本題滲透數形結合的思想，進一步鞏固二次根式的定義、性質，引導學生分析：由于a＜0，b＞0，且｜a｜＞｜b｜．

　　3．計算

　　二、作業

　　教材P．172習題11．1；A組2、3；B組2．

　　補充作業：

　　下列各式中的字母滿足什么條件時，才能使該式成為二次根式？

　　分析：要使這些式成為二次根式，只要被開方式是非負數即可，啟發學生分析如下：

　　(1)由-｜a-2b｜≥0，得a-2b≤0，

　　但根據絕對值的性質，有｜a-2b｜≥0，

　　∴

　　｜a-2b｜=0，即a-2b=0，得a=2b．

　　(2)由(-m2-1)(m-n)≥0，-(m2+1)(m-n)≥0

　　∴

　　(m2+1)(m-n)≤0，又m2+1＞0，

　　∴

　　m-n≤0，即m≤n．

二次根式教學設計2

　　1．能用二次根式表示實際問題中的數量及數量關系，體會研究二次根式的必要性；(難點)

　　2．能根據算術平方根的意義了解二次根式的概念及性質，會求二次根式中被開方數中字母的取值范圍．(重點)

　　一、情境導入

　　問題1：你能用帶有根號的式子填空嗎？

　　(1)面積為3的正方形的邊長為________，面積為S的正方形的邊長為________．

　　(2)一個長方形圍欄，長是寬的2倍，面積為130m2，則它的寬為________m.

　　(3)一個物體從高處自由落下，落到地面所用的時間t(單位：s)與落下的高度h(單位：m)滿足關系h＝5t2，如果用含有h的式子表示t，則t＝______．

　　問題2：上面得到的式子，，，分別表示什么意義？它們有什么共同特征？

　　二、合作探究

　　探究點一：二次根式的定義

　　下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？

　　(1)；(2)；(3)；

　　(4)；(5)；(6)(x≤3)；

　　(7)(x≥0)；(8)；(9)；

　　(10)(ab≥0)．

　　解析：要判斷一個根式是不是二次根式，一是看根指數是不是2，二是看被開方數是不是非負數．

　　解：因為，，＝，(x≤3)，，(ab≥0)中的根指數都是2，且被開方數為非負數，所以都是二次根式.的根指數不是2，，(x≥0)，的被開方數小于0，所以不是二次根式．

　　方法總結：判斷一個式子是不是二次根式，要看所給的式子是否具備以下條件：(1)帶二次根號“”；(2)被開方數是非負數．

　　探究點二：二次根式有意義的條件

　　【類型一】根據二次根式有意義求字母的取值范圍

　　求使下列式子有意義的x的取值范圍．

　　(1)；(2)；(3).

　　解析：根據二次根式的性質和分式的意義，被開方數大于或等于0且分母不等于0，列不等式(組)求解．

　　解：(1)由題意得4－3x＞0，解得x＜.當x＜時，有意義；

　　(2)由題意得解得x≤3且x≠2.當x≤3且x≠2時，有意義；

　　(3)由題意得解得x≥－5且x≠0.當x≥－5且x≠0時，有意義．

　　方法總結：含二次根式的式子有意義的條件：

　　(1)如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是各個二次根式中的被開方數都必須是非負數；(2)如果所給式子中含有分母，則除了保證二次根式中的被開方數為非負數外，還必須保證分母不為零．

　　【類型二】利用二次根式的非負性求解

　　(1)已知a、b滿足＋|b－|＝0，解關于x的方程(a＋2)x＋b2＝a－1；

　　(2)已知x、y都是實數，且y＝＋＋4，求yx的平方根．

　　解析：(1)根據二次根式的非負性和絕對值的非負性求解即可；(2)根據二次根式的非負性即可求得x的值，進而求得y的值，進而可求出yx的'平方根．

　　解：(1)根據題意得解得則(a＋2)x＋b2＝a－1，即－2x＋3＝－5，解得x＝4；

　　(2)根據題意得解得x＝3.則y＝4，故yx＝43＝64，±＝±8，∴yx的平方根為±8.

　　方法總結：二次根式和絕對值都具有非負性，幾個非負數的和為0，這幾個非負數都為0.

　　探究點三：和二次根式有關的規律探究性問題

　　先觀察下列等式，再回答下列問題．

　　①＝1＋－＝1；

　　②＝1＋－＝1；

　　③＝1＋－＝1.

　　(1)請你根據上面三個等式提供的信息，寫出的結果；

　　(2)請你按照上面各等式反映的規律，試寫出用

　　含n的式子表示的等式(n為正整數)．

　　解析：(1)從三個等式中可以發現，等號右邊第一個加數都是1，第二個加數是個分數，設分母為n，第三個分數的分母就是n＋1，結果是一個帶分數，整數部分是1，分數部分的分子也是1，分母是前項分數的分母的積；(2)根據(1)找的規律寫出表示這個規律的式子．

　　解：(1)＝1＋－＝1；

　　(2)＝1＋－＝1(n為正整數)．

　　方法總結：解答規律探究性問題，都要通過仔細觀察找出字母和數之間的關系，通過閱讀找出題目隱含條件并用關系式表示出來．

　　三、板書設計

　　1．二次根式的定義

　　一般地，我們把形如(a≥0)的式子叫做二次根式．

　　2．二次根式有意義的條件

　　被開方數(式)為非負數；有意義?a≥0.

　　通過將新知識與舊知識進行聯系與對比，隨后由學生熟悉的實際問題出發，用已有的知識進行探究，由此引入二次根式．在教學過程中讓學生感受到研究二次根式是實際的需要，體會到數學與實際生活間的緊密聯系，以此充分激發學生學習的興趣．

　　二次根式教學設計

　　《二次根式》教學反思

二次根式教學設計3

　　教學準備

　　1.教學目標

　　（1）學生能用二次根式表示實際問題中的數量和數量關系，體會研究二次根式的必要性．

　　（2）學生能根據算術平方根的意義了解二次根式的概念，知道被開方數必須是非負數的理由，知道二次根式本身是一個非負數，會求二次根式中被開方數字母的取值范圍． 2.教學重點/難點

　　理解二次根式的雙重非負性.

　　3.教學用具

　　4.標簽

　　教學過程

　　1．創設情境，提出問題

　　問題1你能用帶有根號的的式子填空嗎？

　　（1）面積為3 的正方形的邊長為_______，面積為S 的正方形的邊長為_______．

　　（2）一個長方形圍欄，長是寬的2 倍，面積為130m?，則它的寬為______m．

　　（3）一個物體從高處自由落下，落到地面所用的`時間 t（單位：s）與開始落下的高度h（單位：m）滿足關系 h =5t?，如果用含有h 的式子表示 t ，則t= _____．

　　師生活動：學生獨立完成上述問題，用算術平方根表示結果，教師進行適當引導和評價.

　　【設計意圖】讓學生在填空過程中初步感知二次根式與實際生活的緊密聯系，體會研究二次根式的必要性．

　　問題2 上面得到的式子

　　分別表示什么意義？它們有什么共同特征？

　　師生活動：教師引導學生說出各式的意義，概括它們的共同特征：都表示一個非負數（包括字母或式子表示的非負數）的算術平方根．

　　【設計意圖】為概括二次根式的概念作鋪墊．

　　2．抽象概括，形成概念

　　問題3 你能用一個式子表示一個非負數的算術平方根嗎？

　　師生活動：學生小組討論，全班交流．教師由此給出二次根式的定義：一般地，我們把形如

　　【設計意圖】讓學生體會由特殊到一般的過程，培養學生的概括能力．

　　追問：在二次根式的概念中，為什么要強調“a≥0”？

　　師生活動：教師引導學生討論，知道二次根式被開方數必須是非負數的理由．

　　【設計意圖】進一步加深學生對二次根式被開方數必須是非負數的理解． 3．辨析概念，應用鞏固

　　問題4你能比較與0的大小嗎？

　　4．綜合運用，鞏固提高

　　練習1 完成教科書第3頁的練習.

　　練習2 當x 是什么實數時，下列各式有意義

　　課堂小結

　　教師和學生一起回顧本節課所學主要內容，并請學生回答以下問題.

　　（1）本節課你學到了哪一類新的式子？

　　（2）二次根式有意義的條件是什么？二次根式的值的范圍是什么？

　　（3）二次根式與算術平方根有什么關系？

　　課后習題

二次根式教學設計4

　　1教學目標

　　（1）利用歸納類比的方法得出二次根式的除法法則和商的算術平方根的性質；

　　（2）會進行簡單的二次根式的除法運算;

　　（3）理解最簡二次根式的概念

　　2學情分析

　　本節內容主要是在做二次根式的除法運算時，分母含根號的處理方式上，學生可能會出現困難或容易失誤，在除法運算中，可以先計算后利用商的算術平方根的性質來進行，也可以先利用分式的性質，去掉分母中的根號，再結合乘法法則和積的算術平方根的性質來進行。二次根式的除法與分式的運算類似，如果分子、分母中含有相同的因式，可以直接約去，以簡化運算。教學中不能只是列舉題型，應以各級各類習題為載體，引導學生把握運算過程，估計運算結果，明確運算方向。

　　3重點難點

　　重點：二次根式的乘法法則與積的算術平方根的性質．

　　難點：二次根式的除法法則與商的算術平方根的性質之間的關系和應用。

　　4教學過程

　　4。1 第一學時

　　教學活動

　　活動1【導入】復習提問，探究規律

　　問題1 二次根式的乘法法則是什么內容？化簡二次根式的一般步驟怎樣？

　　師生活動學生回答。

　　【設計意圖】讓學生回憶探究乘法法則的過程，類比該過程，學生可以探究除法法則．

　　2．觀察思考，理解法則

　　問題2 教材第8頁“探究”欄目，計算結果如何？有何規律？

　　師生活動學生回答，給出正確答案后，教師引導學生思考，并總結二次根式除法法則：。

　　問題3 對比乘法法則里字母的取值范圍，除法法則里字母的取值范圍有何變化？

　　師生活動學生思考，回答。學生能說明根據分數的意義知道，分母不為零就可以了。

　　【設計意圖】學生通過自主探究，采用類比的方法，得出二次根式的除法法則后，要明確字母的取值范圍，以免在處理更為復雜的二次根式的運算時出現錯誤。

　　問題4 對例題的運算你有什么看法？是如何進行的？

　　師生活動學生利用法則直接運算，一般根號下不含分母和開得盡方的因數。

　　【設計意圖】讓學生初步利用二次根式的性質、乘除法法則進行簡單的運算。

　　問題5 對比積的算術平方根的性質，商的算術平方根有沒有類似性質？

　　師生活動學生類比地發現，商的算術平方根等于算術平方根的商，即。利用該性質可以進行二次根式的化簡。

　　活動2【講授】觀察思考，理解法則

　　問題2 教材第8頁“探究”欄目，計算結果如何？有何規律？

　　師生活動學生回答，給出正確答案后，教師引導學生思考，并總結二次根式除法法則：。

　　問題3 對比乘法法則里字母的`取值范圍，除法法則里字母的取值范圍有何變化？

　　師生活動學生思考，回答。學生能說明根據分數的意義知道，分母不為零就可以了。

　　問題4 對例題的運算你有什么看法？是如何進行的？

　　師生活動學生利用法則直接運算，一般根號下不含分母和開得盡方的因數。

　　【設計意圖】讓學生初步利用二次根式的性質、乘除法法則進行簡單的運算。

　　問題5 對比積的算術平方根的性質，商的算術平方根有沒有類似性質？

　　師生活動學生類比地發現，商的算術平方根等于算術平方根的商，即。利用該性質可以進行二次根式的化簡。

　　活動3【活動】例題示范，學會應用

　　例1 計算：（1）；（2）；（3）。

　　師生活動提問：你有幾種方法去掉分母中的根號？去分母的依據分別是什么？

　　再提問：第（2）用什么方法計算更簡捷？第（3）題根號下含字母在移出根號時應注意什么？

　　【設計意圖】通過具體問題，讓學生在實際運算中培養運算能力，訓練運算技能，

　　問題5 你能從例題的解答過程中，總結一下二次根式的運算結果有什么特征嗎？

　　師生活動學生總結，師生共同補充、完善。要總結出：

　　（1）這些根式的被開方數都不含分母；

　　（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式；

　　（3）分母中不含根號；

　　【設計意圖】引導學生及時總結，提出最簡二次根式的概念，要強調，在二次根式的運算中，一般要把最后結果化為最簡二次根式。

　　問題6 課件展示一組二次根式的計算、化簡題。

　　【設計意圖】讓學生用總結出的結論進行二次根式的運算。

　　活動4【練習】鞏固概念，學以致用

　　例2 教材第9頁例7。

　　師生活動提問本題是以長方形面積為背景的數學問題，二次根式的除法運算在此發揮什么作用？

　　再提問章引言中的問題現在能解決了嗎？

　　【設計意圖】鞏固性練習，同時培養學生應用二次根式的乘除運算法則解決實際問題的能力。

　　活動5【測試】目標檢測設計

　　1．在、、中，最簡二次根式為。

　　【設計意圖】考查對最簡二次根式的概念的理解。

　　2．化簡下列各式為最簡二次根式：；。

　　【設計意圖】復習二次根式的運算法則和運算性質。鼓勵學生用不同方法進行計算。對于分母含二次根式的處理，要結合整式的乘法公式進行計算。

　　3．化簡：（1）；（2）。

　　【設計意圖】綜合運用二次根式的概念、性質和運算法則進行二次根式的運算。

　　活動6【作業】布置作業

　　教科書第10頁練習第1，2，3題；

　　教科書習題16。2第10，11題。

二次根式教學設計5

　　一、教學目標

　　1．掌握二次根式的混合運算．

　　2．掌握混合運算的應用．

　　3．通過二次根式的混合運算，培養學生的運算能力．

　　4．通過混合運算知識拓展，培養學生的探索精神

　　二、教學設計

　　小結、歸納、提高

　　三、重點、難點解決辦法

　　1．教學重點：二次根式的混合運算．

　　2．教學難點：混合運算的應用．

　　四、課時安排

　　1課時

　　五、教具學具準備

　　投影儀、膠片、多媒體

　　六、師生互動活動設計

　　復習小結，歸納整理，應用提高，以學生活動為主

　　七、教學過程

　　【例題】

　　例1 化簡：

　　（1）；（2）．

　　解：（1）

　　（2）

　　說明：在計算過程中要注意各個式子的特點，能否約分或消項（第2小題）達到化簡的目的，又要善于在規則允許的情況下可變換相鄰項的位置，如，結果為－1，繼續運算易出現符號上的差錯，而把先變為，這樣則為1，繼續運算可避免錯誤．

　　例2 解下列方程（組）：

　　（1）

　　（2）

　　（3）

　　解：（1）

　　．

　　（2）①× ，得

　　③

　　②× ，得

　　④

　　③－④，得

　　把代入①，得

　　解得．

　　∴

　　是原方程組的解．

　　（3）由②，得

　　③

　　①× ，得

　　④

　　③－④，得

　　把代入①，得

　　．

　　∴ 是原方程組的解．

　　例3 已知，，求的值．

　　解：．

　　．

　　，，

　　∴ ．

　　例4 已知，，求的值．

　　解：，．

　　．

　　（二）隨堂練習

　　1．教材中P206中8．

　　2．解不等式：．

　　解：

　　∴

　　．

　　3．已知，，求的值．

　　解：3．，或．

　　．

　　∴

　　．

　　4．已知，，求：的值．

　　解 4．

　　．

　　5．已知，求的值．

　　解 5．．

　　．

　　6．不求方根的值比較與的大小．

　　解 6．∵

　　∴

　　（三）總結、擴展

　　根據已知條件，求一個代數的值，要注意條件或代數式的'化簡，有時條件和要求的代數式都需要化簡，當把條件化簡后，代數式的化簡要朝著條件化簡的結果去化簡．

　　（四）布置作業

　　教材中P207B組1、3和補充作業．

　　補充作業：

　　1．已知，求的值．

　　2．已知，，求的值．

　　（五）板書設計

　　標題

　　1．例題……

　　3．例題……

　　2．練習題

　　4．練習題

　　八、背景知識與課外閱讀

　　二次根式的混和運算方法和順序

　　1．方法（1）應用二次根式乘法、除法和加減法運算法則．

　　（2）在實數范圍內運算律仍適用．

　　（3）二次根式的乘法，與多項式的乘法相類似，遇運用多項式乘法公式時，也可以運用乘法公式．

　　2．順序先乘方、后乘除，最后加減，有括號的先算括號內的數．

二次根式教學設計6

　　教學目的

　　1．使學生掌握最簡二次根式的定義，并會應用此定義判斷一個根式是否為最簡二次根式；

　　2．會運用積和商的算術平方根的性質，把一個二次根式化為最簡二次根式。

　　教學重點

　　最簡二次根式的定義。

　　教學難點

　　一個二次根式化成最簡二次根式的方法。

　　教學過程

　　一、復習引入

　　1．把下列各根式化簡，并說出化簡的根據：

　　2．引導學生觀察考慮：

　　化簡前后的根式，被開方數有什么不同？

　　化簡前的被開方數有分數，分式；化簡后的被開方數都是整數或整式，且被開方數中開得盡方的因數或因式，被移到根號外。

　　3．啟發學生回答：

　　二次根式，請同學們考慮一下被開方數符合什么條件的`二次根式叫做最簡二次根式？

　　二、講解新課

　　1．總結學生回答的內容后，給出最簡二次根式定義：

　　滿足下列兩個條件的二次根式叫做最簡二次根式：

　　(1)被開方數的因數是整數，因式是整式；

　　(2)被開方數中不含能開得盡的因數或因式。

　　最簡二次根式定義中第(1)條說明被開方數不含有分母；分母是1的例外。第(2)條說明被開方數中每個因式的指數小于2；特別注意被開方數應化為因式連乘積的形式。

　　2．練習：

　　下列各根式是否為最簡二次根式，不是最簡二次根式的說明原因：

　　3．例題：

　　例1 把下列各式化成最簡二次根式：

　　例2 把下列各式化成最簡二次根式：

　　4．總結

　　把二次根式化成最簡二次根式的根據是什么？應用了什么方法？

　　當被開方數為整數或整式時，把被開方數進行因數或因式分解，根據積的算術平方根的性質，把開得盡方的因數或因式用它的算術平方根代替移到根號外面去。

　　當被開方數是分數或分式時，根據分式的基本性質和商的算術平方根的性質化去分母。

　　此方法是先根據分式的基本性質把被開方數的分母化成能開得盡方的因式，然后分子、分母再分別化簡。

　　三、鞏固練習

　　1．把下列各式化成最簡二次根式：

　　2．判斷下列各根式，哪些是最簡二次根式？哪些不是最簡二次根式？如果不是，把它化成最簡二次根式。

二次根式教學設計7

　　1、通過二次根式混合運算的學習，進一步了解二次根式運算法則，知道二次根式混合運算順序，會進行二次根式的混合運算。

　　2、在進行二次根式混合運算的過程中，體會類比思想，逐步養成認真仔細的學習品質，進一步提高運算能力。

　　教學重點：二次根式混合運算算理的理解。

　　教學難點：類比整式運算準確快速的進行二次根式的混合運算。

　　教學過程：

　　一、情境誘導

　　《二次根式混合運算習題課》教學設計-楊桂花

　　二、練習指導

(學生完成練習提綱,可以討論,老師做必要的板書準備,然后巡回指導,了解情況、)

　　練習提綱：《二次根式混合運算習題課》教學設計-楊桂花

　　三、展示歸納

　　1、學生匯報解題過程,生說師寫;

　　2、發動其他學生評價補充完善;

　　3、師畫龍點睛強調:

(1)二次根式混合運算的運算順序跟有理數運算順序一樣，先乘方，再乘除，最后加減。

　　（2）二次根式混合運算與整式的.運算有很多相似之處，因此可類比整式的運算進行二次根式的混合運算。

　　四、變式練習

(先讓學生獨立完成，老師做必要的板書準備后巡回指導，了解情況；然后讓有一定問題的學生匯報展示，發動學生評價完善，老師強調關鍵地方，總結思想方法。）

　　《二次根式混合運算習題課》教學設計-楊桂花

　　五、小結

本節課你有哪些收獲？還有什么要提醒同學們注意的。（學生總結，百花齊放，老師不做限定，沒說到的，老師補充。）

　　六、布置作業

　　《二次根式混合運算習題課》教學設計-楊桂花

二次根式教學設計8

　　教學目標

　　1、使學生理解最簡二次根式的概念；

　　2、掌握把二次根式化為最簡二次根式的方法。

　　教學重點和難點

　　重點：化二次根式為最簡二次根式的方法。

　　難點：最簡二次根式概念的理解。

　　一、導入新課

　　計算：

　　我們再看下面的問題：

　　簡，得到

　　從上面例子可以看出，如果把二次根式先進行化簡，會對解決問題帶來方便。

　　二、新課

　　答：

　　1、被開方數的因數是整數或整式；

　　2、被開方數中不含能開得盡方的因數或因式。

　　滿足上面兩個條件的二次根式叫做最簡二次根式。

　　例1 試判斷下列各式中哪些是最簡二次根式，哪些不是？為什么？

　　解

　　（1）不是最簡二次根式。因為a3=a2·a，而a2可以開方，即被開方數中有開得盡方的因式。整數。

　　（3）是最簡二次根式。因為被開方數的因式x2＋y2開不盡方，而且是整式。

　　（4）是最簡二次根式。因為被開方數的因式a－b開不盡方，而且是整式。

　　（5）是最簡二次根式。因為被開方數的因式5x開不盡方，而且是整式。

　　（6）不是最簡二次根式。因為被開方數中的因數8=22·2，含有開得盡的因數22。

　　指出：從（1），（2），（6）題可以看到如下兩個結論。

　　1、在二次根式的被開方數中，只要含有分數或小數，就不是最簡二次根式；

　　2、在二次根式的被開方數中的每一個因式（或因數），如果冪的指數等于或大于2，也不是最簡二次根式。

　　例2 把下列各式化為最簡二次根式：

　　分析：把被開方數分解因式或因數，再利用積的'算術平方根的性質

　　例3 把下列各式化成最簡二次根式：

　　分析：題（1）的被開方數是帶分數，應把它變成假分數，然后將分母有理化，把原式化成最簡二次根式。

　　題（2）及題（3）的被開方數是分式，先應用商的算術平方根的性質把原式表示為兩個根式的商的形式，再把分母有理化，把原式化成最簡二次根式。

　　通過例2、例3，請同學們總結出把二次根式化成最簡二次根式的方法。

　　答：如果被開方數是分式或分數（包括小數）先利用商的算術平方根的性質，把它寫成分式的形式，然后利用分母有理化化簡。

　　如果被開方數是整式或整數，先把它分解因式或分解因數，然后把開得盡方的因式或因數開出來，從而將式子化簡。

　　三、課堂練習

　　1、在下列各式中，是最簡二次根式的式子為 [ ]的二次根式的式子有_____個。 [ ]

　　A、2 B、3

　　C、1 D、0

　　3、把下列各式化成最簡二次根式：

　　答案：

　　1、B

　　2、B

　　四、小結

　　1、最簡二次根式必須滿足兩個條件：

　　（1）被開方數的因數是整數，因式是整式；

　　（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式。

　　2、把一個式子化為最簡二次根式的方法是：

　　（1）如果被開方數是整式或整數，先把它分解成因式（或因數）的積的形式，把開得盡方的因式（或因數）移到根號外；

　　（2）如果被開方數含有分母，應去掉分母的根號。

　　五、作業

　　1、把下列各式化成最簡二次根式：

　　2、把下列各式化成最簡二次根式：

二次根式教學設計9

　　教學建議

　　知識結構：

　　重點難點分析：

　　是商的二次根式的性質及利用性質進行二次根式的化簡與運算，利用分母有理化化簡。商的算術平方根的性質是本節的主線，學生掌握性質在二次根使得化簡和運算的運用是關鍵，從化簡與運算由引出初中重要的內容之一分母有理化，分母有理化的理解決定了最簡二次根式化簡的掌握。

　　教學難點是與商的算術平方根的關系及應用。與乘法既有聯系又有區別，強調根式除法結果的一般形式，避免分母上含有根號。由于分母有理化難度和復雜性大，要讓學生首先理解分母有理化的意義及計算結果形式。

　　教法建議：

　　1。本節內容是在有積的二次根式性質的基礎后學習，因此可以采取學生自主探索學習的模式，通過前一節的復習，讓學生通過具體實例再結合積的性質，對比、歸納得到商的二次根式的性質。教師在此過程當中給與適當的指導，提出問題讓學生有一定的探索方向。

　　2。本節內容可以分為三課時，第一課時討論商的算術平方根的性質，并運用這一性質化簡較簡單的二次根式（被開方數的分母可以開得盡方的二次根式）；第二課時討論法則，并運用這一法則進行簡單的運算以及二次根式的乘除混合運算，這一課時運算結果不包括根號出現內出現分式或分數的情況；第三課時討論分母有理化的概念及方法，并進行二次根式的乘除法運算，把運算結果分母有理化。這樣安排使內容由淺入深，各部分相互聯系，因此及彼，層層展開。

　　3。引導學生思考“想一想”中的內容，培養學生思維的深刻性，教師組織學生思考、討論過程當中，鼓勵學生大膽猜想，積極探索，運用類比、歸納和從特殊到一般的思考方法激發學生創造性的思維。

　　教學設計示例

　　一、教學目標

　　1．掌握商的'算術平方根的性質，能利用性質進行二次根式的化簡與運算；

　　2．會進行簡單的運算;

　　3．使學生掌握分母有理化概念，并能利用分母有理化解決二次根式的化簡及近似計算問題；

　　4。培養學生利用公式進行化簡與計算的能力；

　　5。通過二次根式公式的引入過程，滲透從特殊到一般的歸納方法，提高學生的歸納總結能力；

　　6。通過分母有理化的教學，滲透數學的簡潔性。

　　二、教學重點和難點

　　1．重點：會利用商的算術平方根的性質進行二次根式的化簡，會進行簡單的運算，還要使學生掌握采用分母有理化的方法進行．

　　2．難點：與商的算術平方根的關系及應用．

　　三、教學方法

　　從特殊到一般總結歸納的方法以及類比的方法，在學習了二次根式乘法的基礎上本小節

　　內容可引導學生自學，進行總結對比．

　　四、教學手段

　　利用投影儀．

　　五、教學過程

　　(一) 引入新課

　　學生回憶及得算數平方根和性質：（a≥0，b≥0）是用什么樣的方法引出的？(上述積的算術平方根的性質是由具體例子引出的．)

　　學生觀察下面的例子，并計算：

　　由學生總結上面兩個式的關系得：

　　類似地，每個同學再舉一個例子，然后由這些特殊的例子，得出：

　　(二)新課

　　商的算術平方根．

　　一般地，有（a≥0，b＞0）

　　商的算術平方根等于被除式的算術平方根除以除式的算術平方根．

　　讓學生討論這個式子成立的條件是什么？a≥0，b＞0，對于為什么b＞0，要使學生通過討論明確，因為b＝0時分母為0，沒有意義．

　　引導學生從運算順序看，等號左邊是將非負數a除以正數b求商，再開方求商的算術平方根，等號右邊是先分別求被除數、除數的算術平方根，然后再求兩個算術平方根的商，根據商的算術平方根的性質可以進行簡單的二次根式的化簡與運算．

　　例1 化簡：

　　（1）；（2）；（3）；

　　解∶（1）

　　（2）

　　（3）

　　說明：如果被開方數是帶分數，在運算時，一般先化成假分數；本節根號下的字母均為正數。

　　例2 化簡：

　　（1）； (2) ；

　　解：（1）

　　（2）

　　讓學生觀察例題中分母的特點，然后提出，的問題怎樣解決？

　　再總結：這一小節開始講的二次根式的化簡，只限于所得結果的式子中分母可以完全開的盡方的情況，的問題，我們將在今后的學習中解決。

　　學生討論本節課所學內容，并進行小結．

　　(三)小結

　　1．商的算術平方根的性質．(注意公式成立的條件)

　　2．會利用商的算術平方根的性質進行簡單的二次根式的化簡．

　　(四)練習

　　1．化簡：

　　（1）；（2）；（3）。

　　2．化簡：

　　（1）；（2）； (3)

　　六、作業

　　教材P．183習題11．3；A組1．

　　七、板書設計

二次根式教學設計10

　　一、教學目標

　　知識與技能：

　　1、理解二次根式的概念。

　　2、理解二次根式的基本性質。

　　過程與方法：

　　能運用二次根式的概念解決有關問題、

　　情感態度與價值觀：

　　經歷觀察、比較、總結和應用等數學活動，感受數學活動充滿了探索性和創造性，體驗發現的快樂，并提高應用的意識。

　　二、學情分析

　　學生已經學習了“整式”、“平方根”、“算術平方根”等知識，已經具備了學習二次根式的知識基礎和心理基礎，但學生剛認識二次根式，學習將有一定難度。學生知識障礙點是二次根式的概念及運算，如果學生在此不能很好地理解和正確的認知，將對今后學習產生很大影響，所以要求學生積極探究、思考，及時加以鞏固，克服學習困難，真正“學會”。

　　三、重點難點

　　1、教學重點為了解二次根式的概念，知道被開方數必須是非負數的理由，知道二次根式本身是一個非負數，會求二次根式中被開方數字母的取值范圍．

　　2、教學難點為：理解二次根式的雙重非負性、

　　四、教學過程

　　活動1【導入】活動一

　　問題1你能用帶有根號的的式子填空嗎？

　　（1）面積為3的正方形的邊長為_______，面積為S的正方形的邊長為_______．

　　（2）一個長方形圍欄，長是寬的2倍，面積為130m？，則它的寬為______m．

　　（3）一個物體從高處自由落下，落到地面所用的時間t（單位：s）與開始落下的高度h（單位：m）滿足關系h =5t？，如果用含有h的式子表示t，則t= _____．

　　師生活動：學生獨立完成上述問題，用算術平方根表示結果，教師進行適當引導和評價。

　　問題2上面得到的式子√3，√s，

　　√h5分別表示什么意義？它們有什么共同特征？