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基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)

時(shí)間:2024-10-16 16:07:00 設(shè)計(jì) 我要投稿

基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)

  作為一位優(yōu)秀的人民教師,總歸要編寫(xiě)教學(xué)設(shè)計(jì),借助教學(xué)設(shè)計(jì)可以提高教學(xué)質(zhì)量,收到預(yù)期的教學(xué)效果。優(yōu)秀的教學(xué)設(shè)計(jì)都具備一些什么特點(diǎn)呢?以下是小編幫大家整理的基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì),歡迎大家借鑒與參考,希望對(duì)大家有所幫助。

基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)

基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)1

  一、教學(xué)目標(biāo):

  (一)知識(shí)與技能

  1.掌握不等式的三條基本性質(zhì)。

  2.運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)對(duì)不等式進(jìn)行變形。

  (二)過(guò)程與方法

  1.通過(guò)等式的性質(zhì),探索不等式的性質(zhì),初步體會(huì)“類比”的數(shù)學(xué)思想。

  2.通過(guò)觀察、猜想、驗(yàn)證、歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng),經(jīng)歷從特殊到一般、由具體到抽象的認(rèn)知過(guò)程,感受數(shù)學(xué)思考過(guò)程的條理性,發(fā)展思維能力和語(yǔ)言表達(dá)能力。

  (三)情感態(tài)度與價(jià)值觀

  通過(guò)探究不等式基本性質(zhì)的活動(dòng),培養(yǎng)學(xué)生合作交流的意識(shí)和大膽猜想,樂(lè)于探究的良好思維品質(zhì)。

  二、教學(xué)重難點(diǎn)

  教學(xué)重點(diǎn):探索不等式的三條基本性質(zhì)并能正確運(yùn)用它們將不等式變形。

  教學(xué)難點(diǎn):不等式基本性質(zhì)3的探索與運(yùn)用。

  三、教學(xué)方法:自主探究——合作交流

  四、教學(xué)過(guò)程:

  情景引入

  1.舉例說(shuō)明什么是不等式?

  2.判斷下列各式是否成立?并說(shuō)明理由。

  ( 1 )若x-6=10,則x=16( )

  ( 2 )若3x=15,則x=5 ( )

  ( 3 )若x-6>10則x>16( )

  ( 4 )若3x>15則x>5 ( )

  【設(shè)計(jì)意圖】(1)、(2)小題喚起對(duì)舊知識(shí)等式的基本性質(zhì)的回憶,(3)、(4)小題引導(dǎo)學(xué)生大膽說(shuō)出自己的想法。

  溫故知新

  問(wèn)題1.由等式性質(zhì)1你能猜想一下不等式具有什么樣的性質(zhì)嗎?

  等式性質(zhì)1:等式兩邊都加上或減去同一個(gè)數(shù)(或同一個(gè)整式),所得結(jié)果仍是不等式。

  估計(jì)學(xué)生會(huì)猜:不等式兩邊都加上或減去同一個(gè)數(shù)(或同一個(gè)整式),所得結(jié)果仍是不等式。教師引導(dǎo):“=”沒(méi)有方向性,所以可以說(shuō)所得結(jié)果仍是等式,而不等號(hào):“>,<,≥,≤”具有方向性,我們應(yīng)該重點(diǎn)研究它在方向上的變化。

  問(wèn)題2.你能通過(guò)實(shí)驗(yàn)、猜想,得出進(jìn)一步的結(jié)論嗎?

  同學(xué)通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證得出結(jié)論,師生共同總結(jié)不等式性質(zhì)1。

  問(wèn)題3.你能由等式性質(zhì)2進(jìn)一步猜想不等式還具有什么性質(zhì)嗎?

  等式性質(zhì)2:等式兩邊都乘或除以同一個(gè)數(shù)(除數(shù)不能是0),等式依然成立。

  估計(jì)學(xué)生會(huì)猜:不等式兩邊都乘或除以同一個(gè)數(shù)(除數(shù)不能是0),不等號(hào)的方向不變。

  你能和小伙伴一起來(lái)驗(yàn)證你們的猜想嗎?

  學(xué)生在小組內(nèi)合作交流,發(fā)現(xiàn)了在不等式兩邊都乘或除以同一個(gè)數(shù)時(shí),不等號(hào)的方向會(huì)出現(xiàn)兩種情況。教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)分析、比較探索規(guī)律,從而形成共識(shí),歸納概括出不等式性質(zhì)2和3。

  問(wèn)題4.在不等式兩邊都乘0會(huì)出現(xiàn)什么情況?

  問(wèn)題5.如果a、b、c表示任意數(shù),且a<b,你能用a、b、c把不等式的基本性質(zhì)表示出來(lái)碼?

  【想一想】不等式的'基本性質(zhì)與等式的基本性質(zhì)有什么相同之處,有什么不同之處?

  學(xué)生思考,獨(dú)立總結(jié)異同點(diǎn)。

  【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生把二者進(jìn)行比較,有助于加深對(duì)不等式基本性質(zhì)的理解,促成知識(shí)的“正遷移”。

  綜合訓(xùn)練:你能運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)解決問(wèn)題嗎?

  1、課本62頁(yè)例3

  教師引導(dǎo)學(xué)生觀察每個(gè)問(wèn)題是由a>b經(jīng)過(guò)怎樣的變形得到的,應(yīng)該應(yīng)用不等式的哪條基本性質(zhì)。由學(xué)生思考后口答。

  2、你認(rèn)為在運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)時(shí)哪一條性質(zhì)最容易出錯(cuò),應(yīng)該怎樣記住?

  3、火眼金睛

  ①a>1,則2a()a

  ②a>3a,則a()0

  【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)變式訓(xùn)練,加深學(xué)生對(duì)新知的理解,培養(yǎng)學(xué)生分析、探究問(wèn)題的能力。

  課堂小結(jié):

  這節(jié)課你有哪些收獲?你認(rèn)為自己的表現(xiàn)如何?教師引導(dǎo)學(xué)生回顧、思考、交流。

  【設(shè)計(jì)意圖】回顧、總結(jié)、提高。學(xué)生自覺(jué)形成本節(jié)的課的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

  思考題

  咱們班的盛芳同學(xué)準(zhǔn)備在五、一期間和他的爸爸、媽媽外出旅游。青年旅行社的標(biāo)準(zhǔn)為:大人全價(jià),小孩半價(jià);方正旅行社的標(biāo)準(zhǔn)為:大人、小孩一律八折。若兩家旅行社的基本價(jià)一樣,你能幫盛芳同學(xué)考慮一下選擇哪家旅行社更合算嗎?

  【設(shè)計(jì)意圖】利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí),解決生活中的問(wèn)題,加強(qiáng)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系,體驗(yàn)數(shù)學(xué)是描述現(xiàn)實(shí)世界的重要手段。

基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)2

  【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

  1.知識(shí)與技能:學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握基本不等式,理解這個(gè)基本不等式的幾何意義,并掌握定理中的不等號(hào)“≥”取等號(hào)的條件是:當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等;

  2.過(guò)程與方法:通過(guò)實(shí)例探究抽象基本不等式;

  3.情態(tài)與價(jià)值:通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

  【能力培養(yǎng)】

  培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范的學(xué)習(xí)能力,分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

  【教學(xué)重點(diǎn)】

  應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式,并從不同角度探索不等式的證明過(guò)程;及其在求最值時(shí)初步應(yīng)用

  【教學(xué)難點(diǎn)】

  基本不等式等號(hào)成立條件

  【教學(xué)過(guò)程】

  一、課題導(dǎo)入

  基本不等式的幾何背景:如圖是在北京召開(kāi)的第24界國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo),教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找不等關(guān)系。

  二、講授新課

  1.問(wèn)題探究——探究圖形中的不等關(guān)系。

  將圖中的“風(fēng)車”抽象成如圖,在正方形abcd中右個(gè)全等的直角三角形。設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為a,b那么正方形的邊長(zhǎng)為。這樣,4個(gè)直角三角形的面積的'和是2ab,正方形的面積為。由于4個(gè)直角三角形的面積小于正方形的面積,我們就得到了一個(gè)不等式:。

  當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危碼=b時(shí),正方形efgh縮為一個(gè)點(diǎn),這時(shí)有。

  2.總結(jié)結(jié)論:一般的,如果

  (結(jié)論的得出盡量發(fā)揮學(xué)生自主能動(dòng)性,讓學(xué)生總結(jié),教師適時(shí)點(diǎn)撥引導(dǎo))

  3.思考證明:(讓學(xué)生嘗試給出它的證明)

  4.特別的,如果a>0,b>0,我們用分別代替a、b,可得,通常我們把上式寫(xiě)作:

  ①?gòu)牟坏仁降男再|(zhì)推導(dǎo)基本不等式

  用分析法證明:(略)

  ②理解基本不等式的幾何意義

  探究:對(duì)課本第98頁(yè)的“探究”(幾何證明)

  注:在數(shù)學(xué)中,我們稱為a、b的算術(shù)平均數(shù),稱為a、b的幾何平均數(shù)。本節(jié)定理還可敘述為:兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

  5、例:當(dāng)時(shí),取什么值,的值最小?最小值是多少?

  6、課時(shí)小結(jié)

  本節(jié)課,我們學(xué)習(xí)了重要不等式a2+b2≥2ab;兩正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)(),幾何平均數(shù)()及它們的關(guān)系(≥)。它們成立的條件不同,前者只要求a、b都是實(shí)數(shù),而后者要求a、b都是正數(shù)。它們既是不等式變形的基本工具,又是求函數(shù)最值的重要工具(下一節(jié)我們將進(jìn)一步學(xué)習(xí)它們的應(yīng)用)。

  7、作業(yè):

  課本第100頁(yè)習(xí)題[a]組的第1、2題

  板書(shū)設(shè)計(jì)

  課題: 3.4基本不等式

  一、兩個(gè)不等式

  二、例題及練習(xí)

基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)3

  在前兩節(jié)課的研究當(dāng)中,學(xué)生已掌握了一些簡(jiǎn)單的不等式及其應(yīng)用,并能用不等式及不等式組抽象出實(shí)際問(wèn)題中的不等量關(guān)系,掌握了不等式的一些簡(jiǎn)單性質(zhì)與證明,研究了一元二次不等式及其解法,學(xué)習(xí)了二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題。本節(jié)課的研究是前三大節(jié)學(xué)習(xí)的延續(xù)和拓展。另外,為基本不等式的應(yīng)用墊定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ),所以說(shuō),本節(jié)課是起到了承上啟下的作用。本節(jié)課是通過(guò)讓學(xué)生觀察第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)圖案中隱含的相等關(guān)系與不等關(guān)系而引入的通過(guò)分析得出基本不等式,然后從三種角度對(duì)基本不等式展開(kāi)證明及對(duì)基本不等式展開(kāi)一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用,進(jìn)而更深一層次地從理性角度建立不等觀念。教師應(yīng)作好點(diǎn)撥,利用幾何背景,數(shù)形結(jié)合做好歸納總結(jié)、邏輯分析,并鼓勵(lì)學(xué)生從理性角度去分析探索過(guò)程,進(jìn)而更深層次理解基本不等式,鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法獲得過(guò)程的探索,同時(shí)也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容,應(yīng)用觀察、類比、歸納、邏輯分析、思考、合作交流、探究,得出基本不等式,進(jìn)行啟發(fā)、探究式教學(xué)并使用投影儀輔助。

  教學(xué)重點(diǎn)

  1、創(chuàng)設(shè)代數(shù)與幾何背景,用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式;

  2、從不同角度探索基本不等式的證明過(guò)程;

  3、從基本不等式的證明過(guò)程進(jìn)一步體會(huì)不等式證明的常用思路。

  教學(xué)難點(diǎn)

  1、對(duì)基本不等式從不同角度的探索證明;

  2、通過(guò)基本不等式的證明過(guò)程體會(huì)分析法的證明思路。

  教具準(zhǔn)備多媒體及課件

  三維目標(biāo)

  一、知識(shí)與技能

  1、創(chuàng)設(shè)用代數(shù)與幾何兩方面背景,用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式;

  2、嘗試讓學(xué)生從不同角度探索基本不等式的證明過(guò)程;

  3、從基本不等式的證明過(guò)程進(jìn)一步體會(huì)不等式證明的常用思路,即由條件到結(jié)論,或由結(jié)論到條件。

  二、過(guò)程與方法

  1、采用探究法,按照聯(lián)想、思考、合作交流、邏輯分析、抽象應(yīng)用的方法進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué);

  2、教師提供問(wèn)題、素材,并及時(shí)點(diǎn)撥,發(fā)揮老師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用;

  3、將探索過(guò)程設(shè)計(jì)為較典型的具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題,激發(fā)學(xué)生去積極思考,從而培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

  三、情感態(tài)度與價(jià)值觀

  1、通過(guò)具體問(wèn)題的解決,讓學(xué)生去感受、體驗(yàn)現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等量關(guān)系并需要從理性的角度去思考,鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行歸納、抽象,使學(xué)生感受數(shù)學(xué)、走進(jìn)數(shù)學(xué),培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和良好的思維習(xí)慣;

  2、學(xué)習(xí)過(guò)程中,通過(guò)對(duì)問(wèn)題的探究思考,廣泛參與,培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣,主動(dòng)、積極的學(xué)習(xí)品質(zhì),從而提高學(xué)習(xí)質(zhì)量;

  3、通過(guò)對(duì)富有挑戰(zhàn)性問(wèn)題的解決,激發(fā)學(xué)生頑強(qiáng)的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度,同時(shí)去感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用性,體會(huì)數(shù)學(xué)的奧秘、數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)美,從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

  教學(xué)過(guò)程

  導(dǎo)入新課

  探究:上圖是在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo),會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的,顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車,代表中國(guó)人民熱情好客,你能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎?

  (教師用投影儀給出第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo),并介紹此會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的,顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車,代表中國(guó)人民熱情好客。通過(guò)直觀情景導(dǎo)入有利于吸引學(xué)生的注意力,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,并增強(qiáng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)主義熱情)

  推進(jìn)新課

  師同學(xué)們能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎?如何找?

  (沉靜片刻)

  生應(yīng)該先從此圖案中抽象出幾何圖形。

  師此圖案中隱含什么樣的幾何圖形呢?哪位同學(xué)能在黑板上畫(huà)出這個(gè)幾何圖形?

  (請(qǐng)兩位同學(xué)在黑板上畫(huà)。教師根據(jù)兩位同學(xué)的板演作點(diǎn)評(píng))

  (其中四個(gè)直角三角形沒(méi)有畫(huà)全等,不形象、直觀。此時(shí)教師用投影片給出隱含的規(guī)范的幾何圖形)

  師同學(xué)們觀察得很細(xì)致,抽象出的幾何圖形比較準(zhǔn)確。這說(shuō)明,我們只要在現(xiàn)有的基礎(chǔ)上進(jìn)一步刻苦努力,發(fā)奮圖強(qiáng),也能作出和數(shù)學(xué)家趙爽一樣的成績(jī)。

  (此時(shí),每一位同學(xué)看上去都精神飽滿,信心百倍,全神貫注地投入到本節(jié)課的學(xué)習(xí)中來(lái))

  [過(guò)程引導(dǎo)]

  師設(shè)直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為a、b,那么,四個(gè)直角三角形的面積之和與正方形的面積有什么關(guān)系呢?

  生顯然正方形的面積大于四個(gè)直角三角形的面積之和。

  師一定嗎?

  (大家齊聲:不一定,有可能相等)

  師同學(xué)們能否用數(shù)學(xué)符號(hào)去進(jìn)行嚴(yán)格的推理證明,從而說(shuō)明我們剛才直覺(jué)思維的合理性?

  生每個(gè)直角三角形的面積為,四個(gè)直角三角形的面積之和為2ab。正方形的邊長(zhǎng)為,所以正方形的面積為a2+b2,則a2+b2≥2ab。

  師這位同學(xué)回答得很好,表達(dá)很全面、準(zhǔn)確,但請(qǐng)大家思考一下,他對(duì)a2+b2≥2ab證明了嗎?

  生沒(méi)有,他仍是由我們剛才的直觀所得,只是用字母表達(dá)一下而已。

  師回答得很好。

  (有的同學(xué)感到迷惑不解)

  師這樣的敘述不能代替證明。這是同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)經(jīng)常會(huì)犯的錯(cuò)誤。實(shí)質(zhì)上,對(duì)文字性語(yǔ)言敘述證明題來(lái)說(shuō),他只是寫(xiě)出了已知、求證,并未給出證明。

  (有的同學(xué)竊竊私語(yǔ),確實(shí)是這樣,并沒(méi)有給出證明)

  師請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)思考,該如何證明此不等式,即a2+b2≥2ab。

  生采用作差的方法,由a2+b2-2ab=(a-b)2,∵(a-b)2是一個(gè)完全平方數(shù),它是非負(fù)數(shù),即(a-b)2≥0,所以可得a2+b2≥2ab。

  師同學(xué)們思考一下,這位同學(xué)的證明是否正確?

  生正確。

  [教師精講]

  師這位同學(xué)的證明思路很好。今后,我們把這種證明不等式的思想方法形象地稱之為“比較法”,它和根據(jù)實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)比較兩個(gè)代數(shù)式的大小是否一樣。

  生實(shí)質(zhì)一樣,只是設(shè)問(wèn)的形式不同而已。一個(gè)是比較大小,一個(gè)是讓我們?nèi)プC明。

  師這位同學(xué)回答得很好,思維很深刻。此處的比較法是用差和0作比較。在我們的數(shù)學(xué)研究當(dāng)中,還有另一種“比較法”。

  (教師此處的設(shè)問(wèn)是針對(duì)學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)而言)

  生作商,用商和“1”比較大小。

  師對(duì)。那么我們?cè)谟龅竭@類問(wèn)題時(shí),何時(shí)采用作差,何時(shí)采用作商呢?這個(gè)問(wèn)題讓同學(xué)們課后去思考,在解決問(wèn)題中自然會(huì)遇到。

  (此處設(shè)置疑問(wèn),意在激發(fā)學(xué)生課后去自主探究問(wèn)題,把探究的思維空間切實(shí)留給學(xué)生)

  [合作探究]

  師請(qǐng)同學(xué)們?cè)僮屑?xì)觀察一下,等號(hào)何時(shí)取到。

  生當(dāng)四個(gè)直角三角形的'直角頂點(diǎn)重合時(shí),即面積相等時(shí)取等號(hào)。

  (學(xué)生的思維仍建立在感性思維基礎(chǔ)之上,教師應(yīng)及時(shí)點(diǎn)撥)

  師從不等式a2+b2≥2ab的證明過(guò)程能否去說(shuō)明。

  生當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)2=0,即a=b時(shí),取等號(hào)。

  師這位同學(xué)回答得很好。請(qǐng)同學(xué)們看一下,剛才兩位同學(xué)分別從幾何圖形與不等式兩個(gè)角度分析等號(hào)成立的條件是否一致。

  (大家齊聲)一致。

  (此處意在強(qiáng)化學(xué)生的直覺(jué)思維與理性思維要合并使用。就此問(wèn)題來(lái)講,意在強(qiáng)化學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用)

  板書(shū):

  一般地,對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b,我們有a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立。

  [過(guò)程引導(dǎo)]

  師這是一個(gè)很重要的不等式。對(duì)數(shù)學(xué)中重要的結(jié)論,我們應(yīng)仔細(xì)觀察、思考,才能挖掘出它的內(nèi)涵與外延。只有這樣,我們用它來(lái)解決問(wèn)題時(shí)才能得心應(yīng)手,也不會(huì)出錯(cuò)。

  (同學(xué)們的思維再一次高度集中,似乎能從不等式a2+b2≥2ab中得出什么。此時(shí),教師應(yīng)及時(shí)點(diǎn)撥、指引)

  師當(dāng)a>0,b>0時(shí),請(qǐng)同學(xué)們思考一下,是否可以用a、b代替此不等式中的a、b。

  生完全可以。

  師為什么?

  生因?yàn)椴坏仁街械腶、b∈R。

  師很好,我們來(lái)看一下代替后的結(jié)果。

  板書(shū):

  即(a>0,b>0)。

  師這個(gè)不等式就是我們這節(jié)課要推導(dǎo)的基本不等式。它很重要,在數(shù)學(xué)的研究中有很多應(yīng)用,我們常把叫做正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù),把a(bǔ)b叫做正數(shù)a、b的幾何平均數(shù),即兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

  (此處意在引起學(xué)生的重視,從不同的角度去理解)

  師請(qǐng)同學(xué)們嘗試一下,能否利用不等式及實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)來(lái)推導(dǎo)出這個(gè)不等式呢?

  (此時(shí),同學(xué)們信心十足,都說(shuō)能。教師利用投影片展示推導(dǎo)過(guò)程的填空形式)

  要證:,①

  只要證a+b≥2,②

  要證②,只要證:a+b-2≥0,③

  要證③,只要證:④

  顯然④是成立的,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),④中的等號(hào)成立,這樣就又一次得到了基本不等式。

  (此處以填空的形式,突出體現(xiàn)了分析法證明的關(guān)鍵步驟,意在把思維的時(shí)空切實(shí)留給學(xué)生,讓學(xué)生在探究的基礎(chǔ)上去體會(huì)分析法的證明思路,加大了證明基本不等式的探究力度)

  [合作探究]

  老師用投影儀給出下列問(wèn)題。

  如圖,AB是圓的直徑,點(diǎn)C是AB上一點(diǎn),AC=a,BC=b。過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DD′,連結(jié)AD、BD。你能利用這個(gè)圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎?

  (本節(jié)課開(kāi)展到這里,學(xué)生從基本不等式的證明過(guò)程中已體會(huì)到證明不等式的常用方法,對(duì)基本不等式也已經(jīng)很熟悉,這就具備了探究這個(gè)問(wèn)題的知識(shí)與情感基礎(chǔ))

  [合作探究]

  師同學(xué)們能找出圖中與a、b有關(guān)的線段嗎?

  生可證△ACD ∽△BCD,所以可得。

  生由射影定理也可得。

  師這兩位同學(xué)回答得都很好,那ab與分別又有什么幾何意義呢?

  生表示半弦長(zhǎng),表示半徑長(zhǎng)。

  師半徑和半弦又有什么關(guān)系呢?

  生由半徑大于半弦可得。

  師這位同學(xué)回答得是否很嚴(yán)密?

  生當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合,即當(dāng)a=b時(shí)可取等號(hào),所以也可得出基本不等式(a>0,b>0)。

  課堂小結(jié)

  師本節(jié)課我們研究了哪些問(wèn)題?有什么收獲?

  生我們通過(guò)觀察分析第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)得出了不等式a2+b2≥2ab。

  生由a2+b2≥2ab,當(dāng)a>0,b>0時(shí),以、分別代替a、b,得到了基本不等式(a>0,b>0)。進(jìn)而用不等式的性質(zhì),由結(jié)論到條件,證明了基本不等式。

  生在圓這個(gè)幾何圖形中我們也能得到基本不等式。

  (此處,創(chuàng)造讓學(xué)生進(jìn)行課堂小結(jié)的機(jī)會(huì),目的是培養(yǎng)學(xué)生語(yǔ)言表達(dá)能力,也有利于課外學(xué)生歸納、總結(jié)等學(xué)習(xí)方法、能力的提高)

  師大家剛才總結(jié)得都很好,本節(jié)課我們從實(shí)際情景中抽象出基本不等式。并采用數(shù)形結(jié)合的思想,賦予基本不等式幾何直觀,讓大家進(jìn)一步領(lǐng)悟到基本不等式成立的條件是a>0,b>0,及當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立。在對(duì)不等式的證明過(guò)程中,體會(huì)到一些證明不等式常用的思路、方法。以后,同學(xué)們要注意數(shù)形結(jié)合的思想在解題中的靈活運(yùn)用。

  布置作業(yè)

  活動(dòng)與探究:已知a、b都是正數(shù),試探索, ,,的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論。

  分析:(方法一)由特殊到一般,用特殊值代入,先得到表達(dá)式的大小關(guān)系,再由不等式及實(shí)數(shù)的性質(zhì)證明。

  (方法二)創(chuàng)設(shè)幾何直觀情景。設(shè)AC=a,BC=b,用a、b表示線段CE、OE、CD、DF的長(zhǎng)度,由CE>OE>CD>DF可得。

  板書(shū)設(shè)計(jì)

  基本不等式的證明

  一、實(shí)際情景引入得到重要不等式

  a2+b2≥2ab

  二、定理

  若a>0,b>0

  課后作業(yè):

  證明過(guò)程探索:

基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)4

  教學(xué)分析

  本節(jié)課的研究是對(duì)初中不等式學(xué)習(xí)的延續(xù)和拓展,也是實(shí)數(shù)理論的進(jìn)一步發(fā)展。在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中,將讓學(xué)生回憶實(shí)數(shù)的基本理論,并能用實(shí)數(shù)的基本理論來(lái)比較兩個(gè)代數(shù)式的大小。

  通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),讓學(xué)生從一系列的具體問(wèn)題情境中,感受到在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系,并充分認(rèn)識(shí)不等關(guān)系的存在與應(yīng)用。對(duì)不等關(guān)系的相關(guān)素材,用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納、抽象,完成量與量的比較過(guò)程。即能用不等式或不等式組把這些不等關(guān)系表示出來(lái)。

  在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中還安排了一些簡(jiǎn)單的、學(xué)生易于處理的問(wèn)題,其用意在于讓學(xué)生注意對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的應(yīng)用,同時(shí)也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,并由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具研究不等關(guān)系的愿望。根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容,應(yīng)用再現(xiàn)、回憶得出實(shí)數(shù)的基本理論,并能用實(shí)數(shù)的基本理論來(lái)比較兩個(gè)代數(shù)式的大小。

  在本節(jié)教學(xué)中,教師可讓學(xué)生閱讀書(shū)中實(shí)例,充分利用數(shù)軸這一簡(jiǎn)單的數(shù)形結(jié)合工具,直接用實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,從數(shù)與形兩方面建立實(shí)數(shù)的順序關(guān)系。要在溫故知新的基礎(chǔ)上提高學(xué)生對(duì)不等式的認(rèn)識(shí)。

  三維目標(biāo)

  1.在學(xué)生了解不等式產(chǎn)生的實(shí)際背景下,利用數(shù)軸回憶實(shí)數(shù)的基本理論,理解實(shí)數(shù)的大小關(guān)系,理解實(shí)數(shù)大小與數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置間的關(guān)系。

  2.會(huì)用作差法判斷實(shí)數(shù)與代數(shù)式的大小,會(huì)用配方法判斷二次式的大小和范圍。

  3.通過(guò)溫故知新,提高學(xué)生對(duì)不等式的認(rèn)識(shí),激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,體會(huì)數(shù)學(xué)的奧秘與數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美。

  重點(diǎn)難點(diǎn)

  教學(xué)重點(diǎn):比較實(shí)數(shù)與代數(shù)式的'大小關(guān)系,判斷二次式的大小和范圍。

  教學(xué)難點(diǎn):準(zhǔn)確比較兩個(gè)代數(shù)式的大小。

  課時(shí)安排

  1課時(shí)

  教學(xué)過(guò)程

  導(dǎo)入新課

  思路1.(章頭圖導(dǎo)入)通過(guò)多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫(huà)面,它將學(xué)生帶入“橫看成嶺側(cè)成峰,遠(yuǎn)近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中,使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中是大量存在的,由此產(chǎn)生用數(shù)學(xué)研究不等關(guān)系的強(qiáng)烈愿望,自然地引入新課。

  思路2.(情境導(dǎo)入)列舉出學(xué)生身體的高矮、身體的輕重、距離學(xué)校路程的遠(yuǎn)近、百米賽跑的時(shí)間、數(shù)學(xué)成績(jī)的多少等現(xiàn)實(shí)生活中學(xué)生身邊熟悉的事例,描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系。這些不等關(guān)系怎樣在數(shù)學(xué)上表示出來(lái)呢?讓學(xué)生自由地展開(kāi)聯(lián)想,教師組織不等關(guān)系的相關(guān)素材,讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納,使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系與相等關(guān)系一樣,在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中大量存在著。這樣學(xué)生會(huì)由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具研究不等關(guān)系的愿望,從而進(jìn)入進(jìn)一步的探究學(xué)習(xí),由此引入新課。

  推進(jìn)新課

  新知探究

  提出問(wèn)題

  1回憶初中學(xué)過(guò)的不等式,讓學(xué)生說(shuō)出“不等關(guān)系”與“不等式”的異同。怎樣利用不等式研究及表示不等關(guān)系?

  2在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中,既有相等關(guān)系,又存在著大量的不等關(guān)系。你能舉出一些實(shí)際例子嗎?

  3數(shù)軸上的任意兩點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的兩實(shí)數(shù)具有怎樣的關(guān)系?

  4任意兩個(gè)實(shí)數(shù)具有怎樣的關(guān)系?用邏輯用語(yǔ)怎樣表達(dá)這個(gè)關(guān)系?

  活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生回憶初中學(xué)過(guò)的不等式概念,使學(xué)生明確“不等關(guān)系”與“不等式”的異同。不等關(guān)系強(qiáng)調(diào)的是關(guān)系,可用符號(hào)“>”“b”“a

  教師與學(xué)生一起舉出我們?nèi)粘I钪胁坏汝P(guān)系的例子,可讓學(xué)生充分合作討論,使學(xué)生感受到現(xiàn)實(shí)世界中存在著大量的不等關(guān)系。在學(xué)生了解了一些不等式產(chǎn)生的實(shí)際背景的前提下,進(jìn)一步學(xué)習(xí)不等式的有關(guān)內(nèi)容。

  實(shí)例1:某天的天氣預(yù)報(bào)報(bào)道,最高氣溫32 ℃,最低氣溫26 ℃.

  實(shí)例2:對(duì)于數(shù)軸上任意不同的兩點(diǎn)A、B,若點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊,則xA

  實(shí)例3:若一個(gè)數(shù)是非負(fù)數(shù),則這個(gè)數(shù)大于或等于零。

  實(shí)例4:兩點(diǎn)之間線段最短。

  實(shí)例5:三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊。

  實(shí)例6:限速40 km/h的路標(biāo)指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí),應(yīng)使汽車的速度v不超過(guò)40 km/h.

  實(shí)例7:某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%,蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.

  教師進(jìn)一步點(diǎn)撥:能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)當(dāng)然很好,這說(shuō)明同學(xué)們已經(jīng)走進(jìn)了數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科,但作為我們研究數(shù)學(xué)的人來(lái)說(shuō),能用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納、抽象,完成這些量與量的比較過(guò)程,這是我們每個(gè)研究數(shù)學(xué)的人必須要做的,那么,我們可以用我們所研究過(guò)的什么知識(shí)來(lái)表示這些不等關(guān)系呢?學(xué)生很容易想到,用不等式或不等式組來(lái)表示這些不等關(guān)系。那么不等式就是用不等號(hào)將兩個(gè)代數(shù)式連結(jié)起來(lái)所成的式子。如-71+4,2x≤6,a+2≥0,3≠4,0≤5等。

  教師引導(dǎo)學(xué)生將上述的7個(gè)實(shí)例用不等式表示出來(lái)。實(shí)例1,若用t表示某天的氣溫,則26 ℃≤t≤32 ℃.實(shí)例3,若用x表示一個(gè)非負(fù)數(shù),則x≥0.實(shí)例5|AC|+|BC|>|AB|,如下圖。

  |AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.

  |AB|-|BC|

  實(shí)例6,若用v表示速度,則v≤40 km/h.實(shí)例7,f≥2.5%,p≥2.3%.對(duì)于實(shí)例7,教師應(yīng)點(diǎn)撥學(xué)生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質(zhì)含量需同時(shí)滿足,避免寫(xiě)成f≥2.5%或p≥2.3%,這是不對(duì)的。但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.

  對(duì)以上問(wèn)題,教師讓學(xué)生輪流回答,再用投影儀給出課本上的兩個(gè)結(jié)論。

  討論結(jié)果:

  (1)(2)略;(3)數(shù)軸上任意兩點(diǎn)中,右邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)比左邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)大。

  (4)對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b,在a=b,a>b,a0a>b;a-b=0a=b;a-b

  應(yīng)用示例

  例1(教材本節(jié)例1和例2)

  活動(dòng):通過(guò)兩例讓學(xué)生熟悉兩個(gè)代數(shù)式的大小比較的基本方法:作差,配方法。

  點(diǎn)評(píng):本節(jié)兩例的求解,是借助因式分解和應(yīng)用配方法完成的,這兩種方法是代數(shù)式變形時(shí)經(jīng)常使用的方法,應(yīng)讓學(xué)生熟練掌握。

  變式訓(xùn)練

  1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是( )

  A.f(x)>g(x) B.f(x)=g(x)

  C.f(x)

  答案:A

  解析:f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0,∴f(x)>g(x).

  2.已知x≠0,比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小。

  解:由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.

  ∵x≠0,得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.

  例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b).

  (1)a+b2與21a+1b(a>0,b>0);

  (2)a4-b4與4a3(a-b).

  活動(dòng):比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小,常根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系,歸結(jié)為判斷它們的差的符號(hào)來(lái)確定。本例可由學(xué)生獨(dú)立完成,但要點(diǎn)撥學(xué)生在最后的符號(hào)判斷說(shuō)理中,要理由充分,不可忽略這點(diǎn)。

  解:(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.

  ∵a>0,b>0且a≠b,∴a+b>0,(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0,即a+b2>21a+1b.

  (2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)

  =(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]

  =-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].

  ∵2a2+(a+b)2≥0(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時(shí)取等號(hào)),又a≠b,∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]

  ∴a4-b4

  點(diǎn)評(píng):比較大小常用作差法,一般步驟是作差——變形——判斷符號(hào)。變形常用的手段是分解因式和配方,前者將“差”變?yōu)椤胺e”,后者將“差”化為一個(gè)或幾個(gè)完全平方式的“和”,也可兩者并用。

  變式訓(xùn)練

  已知x>y,且y≠0,比較xy與1的大小。

  活動(dòng):要比較任意兩個(gè)數(shù)或式的大小關(guān)系,只需確定它們的差與0的大小關(guān)系。

  解:xy-1=x-yy.

  ∵x>y,∴x-y>0.

  當(dāng)y

  當(dāng)y>0時(shí),x-yy>0,即xy-1>0.∴xy>1.

  點(diǎn)評(píng):當(dāng)字母y取不同范圍的值時(shí),差xy-1的正負(fù)情況不同,所以需對(duì)y分類討論。

  例3建筑設(shè)計(jì)規(guī)定,民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積。但按采光標(biāo)準(zhǔn),窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%,且這個(gè)比值越大,住宅的采光條件越好。試問(wèn):同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積,住宅的采光條件是變好了,還是變壞了?請(qǐng)說(shuō)明理由。

  活動(dòng):解題關(guān)鍵首先是把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言,然后比較前后比值的大小,采用作差法。

  解:設(shè)住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b,同時(shí)增加的面積為m,根據(jù)問(wèn)題的要求a

  由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0,于是a+mb+m>ab.又ab≥10%,因此a+mb+m>ab≥10%.

  所以同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積后,住宅的采光條件變好了。

  點(diǎn)評(píng):一般地,設(shè)a、b為正實(shí)數(shù),且a0,則a+mb+m>ab.

  變式訓(xùn)練

  已知a1,a2,…為各項(xiàng)都大于零的等比數(shù)列,公比q≠1,則( )

  A.a1+a8>a4+a5 B.a1+a8

  C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定

  答案:A

  解析:(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4

  =a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).

  ∵{an}各項(xiàng)都大于零,∴q>0,即1+q>0.

  又∵q≠1,∴(a1+a8)-(a4+a5)>0,即a1+a8>a4+a5.

  知能訓(xùn)練

  1.下列不等式:①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的個(gè)數(shù)為( )

  A.3 B.2 C.1 D.0

  2.比較2x2+5x+9與x2+5x+6的大小。

  答案:

  1.C解析:∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.

  ∴只有①恒成立。

  2.解:因?yàn)?x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0,所以2x2+5x+9>x2+5x+6.

  課堂小結(jié)

  1.教師與學(xué)生共同完成本節(jié)課的小結(jié),從實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)的回顧,到兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較方法;從例題的活動(dòng)探究點(diǎn)評(píng),到緊跟著的變式訓(xùn)練,讓學(xué)生去繁就簡(jiǎn),聯(lián)系舊知,將本節(jié)課所學(xué)納入已有的知識(shí)體系中。

  2.教師畫(huà)龍點(diǎn)睛,點(diǎn)撥利用實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)對(duì)兩個(gè)實(shí)數(shù)大小比較時(shí)易錯(cuò)的地方。鼓勵(lì)學(xué)有余力的學(xué)生對(duì)節(jié)末的思考與討論在課后作進(jìn)一步的探究。

  作業(yè)

  習(xí)題3—1A組3;習(xí)題3—1B組2.

  設(shè)計(jì)感想

  1.本節(jié)設(shè)計(jì)關(guān)注了教學(xué)方法的優(yōu)化。經(jīng)驗(yàn)告訴我們:課堂上應(yīng)根據(jù)具體情況,選擇、設(shè)計(jì)最能體現(xiàn)教學(xué)規(guī)律的教學(xué)過(guò)程,不宜長(zhǎng)期使用一種固定的教學(xué)方法,或原封不動(dòng)地照搬一種實(shí)驗(yàn)?zāi)J健8鞣N教學(xué)方法中,沒(méi)有一種能很好地適應(yīng)一切教學(xué)活動(dòng)。也就是說(shuō),世上沒(méi)有萬(wàn)能的教學(xué)方法。針對(duì)個(gè)性,靈活變化,因材施教才是成功的施教靈藥。

  2.本節(jié)設(shè)計(jì)注重了難度控制。不等式內(nèi)容應(yīng)用面廣,可以說(shuō)與其他所有內(nèi)容都有交匯,歷來(lái)是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)。作為本章開(kāi)始,可以適當(dāng)開(kāi)闊一些,算作拋磚引玉,讓學(xué)生有個(gè)自由探究聯(lián)想的平臺(tái),但不宜過(guò)多向外拓展,以免對(duì)學(xué)生產(chǎn)生負(fù)面影響。

  3.本節(jié)設(shè)計(jì)關(guān)注了學(xué)生思維能力的訓(xùn)練。訓(xùn)練學(xué)生的思維能力,提升思維的品質(zhì),是數(shù)學(xué)教師直面的重要課題,也是中學(xué)數(shù)學(xué)的主線。采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性,克服思維的僵化。變式訓(xùn)練教學(xué)又可以拓展學(xué)生思維視野的廣度,解題后的點(diǎn)撥反思有助于學(xué)生思維批判性品質(zhì)的提升。

  備課資料

  備用習(xí)題

  1.比較(x-3)2與(x-2)(x-4)的大小。

  2.試判斷下列各對(duì)整式的大小:(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.

  3.已知x>0,求證:1+x2>1+x .

  4.若x

  5.設(shè)a>0,b>0,且a≠b,試比較aabb與abba的大小。

  參考答案:

  1.解:∵(x-3)2-(x-2)(x-4)

  =(x2-6x+9)-(x2-6x+8)

  =1>0,∴(x-3)2>(x-2)(x-4).

  2.解:(1)(m2-2m+5)-(-2m+5)

  =m2-2m+5+2m-5

  =m2.

  ∵m2≥0,∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.

  ∴m2-2m+5≥-2m+5.

  (2)(a2-4a+3)-(-4a+1)

  =a2-4a+3+4a-1

  =a2+2.

  ∵a2≥0,∴a2+2≥2>0.

  ∴a2-4a+3>-4a+1.

  3.證明:∵(1+x2)2-(1+x)2

  =1+x+x24-(x+1)

  =x24,又∵x>0,∴x24>0.

  ∴(1+x2)2>(1+x)2.

  由x>0,得1+x2>1+x.

  4.解:(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)

  =(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]

  =-2xy(x-y).

  ∵x0,x-y

  ∴-2xy(x-y)>0.

  ∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).

  5.解:∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b,且a≠b,當(dāng)a>b>0時(shí),ab>1,a-b>0,則(ab)a-b>1,于是aabb>abba.

  當(dāng)b>a>0時(shí),0

  則(ab)a-b>1.

  于是aabb>abb a.

  綜上所述,對(duì)于不相等的正數(shù)a、b,都有aabb>abba.

基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)5

  一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

  本節(jié)課是北師大版高中數(shù)學(xué)必修5中第三章第4節(jié)的內(nèi)容。主要是二元均值不等式。它是在系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了不等關(guān)系和不等式性質(zhì),掌握了不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上展開(kāi)的,作為重要的基本不等式之一,為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。要進(jìn)一步了解不等式的性質(zhì)及運(yùn)用,研究最值問(wèn)題,此時(shí)基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知識(shí)體系中起了承上啟下的作用,同時(shí)在生活及生產(chǎn)實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用,因此它也是對(duì)學(xué)生進(jìn)行情感價(jià)值觀教育的優(yōu)良素材,所以基本不等式應(yīng)重點(diǎn)研究。

  教學(xué)中注意用新課程理念處理教材,學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不僅要接受、記憶、模仿和練習(xí),而且要自主探究、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué),師生互動(dòng),教師發(fā)揮組織者、引導(dǎo)者、合作者的作用,引導(dǎo)學(xué)生主體參與、揭示本質(zhì)、經(jīng)歷過(guò)程。

  就知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值上來(lái)看,基本不等式是從大量數(shù)學(xué)問(wèn)題和現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中抽象出來(lái)的一個(gè)模型,在公式推導(dǎo)中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法如數(shù)形結(jié)合、抽象歸納、演繹推理、分析法證明等在各種不等式的研究中均有著廣泛的應(yīng)用;另外,在解決函數(shù)最值問(wèn)題中,基本不等式也起著重要的作用。

  就內(nèi)容的人文價(jià)值上來(lái)看,基本不等式的探究與推導(dǎo)需要學(xué)生觀察、分析、歸納,有助于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維和探索精神,是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識(shí)和提高數(shù)學(xué)能力的良好載體。

  二、教學(xué)目標(biāo)和目標(biāo)解析

  教學(xué)目標(biāo):了解基本不等式的幾何背景,能在教師的引導(dǎo)下探究基本不等式的證明過(guò)程,理解基本不等式的幾何解釋,并能解決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題;借助于信息技術(shù)強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合的思想方法。

  在教師的逐步引導(dǎo)下,能從較為熟悉的幾何圖形中抽象出基本不等式,實(shí)現(xiàn)對(duì)基本不等式幾何背景的初步了解。

  學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了不等式的基本性質(zhì),可以運(yùn)用作差法給出基本不等式的證明,同時(shí),介紹并滲透分析法證明的思想方法,從而完成基本不等式的代數(shù)證明。

  進(jìn)一步通過(guò)探究幾何圖形,給出基本不等式的幾何解釋,加強(qiáng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí)。

  通過(guò)應(yīng)用問(wèn)題的解決,明確解決應(yīng)用題的一般過(guò)程。這是一個(gè)過(guò)程性目標(biāo)。借助例1,引導(dǎo)學(xué)生嘗試用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題,體會(huì)和與積的相互轉(zhuǎn)化,進(jìn)一步通過(guò)例2,引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)運(yùn)用基本不等式的三個(gè)限制條件(一正二定三相等)在解決最值問(wèn)題中的作用,并用幾何畫(huà)板展示函數(shù)圖形,進(jìn)一步深化數(shù)形結(jié)合的思想。結(jié)合變式訓(xùn)練完善對(duì)基本不等式結(jié)構(gòu)的理解,提升解決問(wèn)題的能力,體會(huì)方法與策略。

  三、教學(xué)問(wèn)題診斷

  在認(rèn)知上,學(xué)生已經(jīng)掌握了不等式的基本性質(zhì),并能夠根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行數(shù)、式的大小比較,也具備了一定的平面幾何的基本知識(shí)。但是,倘若教師不加以引導(dǎo),學(xué)生并不能自覺(jué)地通過(guò)已有的知識(shí)、記憶去發(fā)展和構(gòu)建幾何圖形中的相等或不等關(guān)系,這就需要教師逐步地引導(dǎo),并選用合理的手段去激活學(xué)生的`思維,增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)。

  另外,盡可能引領(lǐng)學(xué)生充分理解兩個(gè)基本不等式等號(hào)成立的條件,為利用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題做好鋪墊。在用基本不等式解決最值時(shí),學(xué)生往往容易忽視基本不等式,使用的前提條件a,b>0同時(shí)又要注意區(qū)別基本不等式的使用條件為,因此,在教學(xué)過(guò)程中,借助例題落實(shí)學(xué)生領(lǐng)會(huì)基本不等式成立的三個(gè)限制條件(一正二定三相等)在解決最值問(wèn)題中的作用。而對(duì)于“一正二定三相等”的進(jìn)一步強(qiáng)化和應(yīng)用,將放于下一個(gè)課時(shí)的內(nèi)容。

  四、教學(xué)支持條件分析

  為了能很好地展示幾何圖形,體會(huì)基本不等式的幾何背景,教學(xué)中需要有具體的圖形來(lái)幫助學(xué)生理解基本不等式的生成,感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,所以,借助于幾何畫(huà)板軟件來(lái)加強(qiáng)幾何直觀十分必要,同時(shí)演示動(dòng)畫(huà)幫助學(xué)生驗(yàn)證基本不等式等號(hào)取到的情況,并用電腦3D技術(shù)展示基本不等式的又一幾何背景,加深對(duì)基本不等式的理解,增強(qiáng)教學(xué)效果。

  五、教學(xué)設(shè)計(jì)流程圖

  教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)從實(shí)際的問(wèn)題情境出發(fā),以基本不等式的幾何背景為著手點(diǎn),以探究活動(dòng)為主線,探求基本不等式的結(jié)構(gòu)形式,并進(jìn)一步給出幾何解釋,深化對(duì)基本不等式的理解。通過(guò)典型例題的講解,明確利用基本不等式解決簡(jiǎn)單最值問(wèn)題的應(yīng)用價(jià)值。數(shù)形結(jié)合的思想貫穿于整個(gè)教學(xué)過(guò)程,并時(shí)刻體現(xiàn)在教學(xué)活動(dòng)之中。

  六、教法和預(yù)期效果分析

  本節(jié)課通過(guò)6個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié),強(qiáng)調(diào)過(guò)程教學(xué),在教師的引導(dǎo)下,啟動(dòng)觀察、分析、感知、歸納、探究等思維活動(dòng),從各個(gè)層面認(rèn)識(shí)基本不等式,并理解其幾何背景。課堂教學(xué)以學(xué)生為主體,基本不等式為主線,在學(xué)生原有的認(rèn)知基本上,充分展示基本不等式這一知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展及再創(chuàng)造的過(guò)程。

  同時(shí),以多媒體課件作為教學(xué)輔助手段,賦予學(xué)生直觀感受,便于觀察,從而把一個(gè)生疏的、內(nèi)在的知識(shí),變成一個(gè)可認(rèn)知的、可交流的對(duì)象,提高了課堂效率。

  通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí),引領(lǐng)學(xué)生多角度、多方位地認(rèn)識(shí)基本不等式,并了解它的幾何意義充分滲透數(shù)形結(jié)合的思想;能在教師的引導(dǎo)下,主動(dòng)探索并了解基本不等式的證明過(guò)程,強(qiáng)化證明的各類方法;

  會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大(小)值問(wèn)題并注意等號(hào)取到的條件。在教學(xué)過(guò)程中始終圍繞教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行評(píng)價(jià),師生互動(dòng),在教學(xué)過(guò)程的不同環(huán)節(jié)中及時(shí)獲取教學(xué)反饋信息,以學(xué)生為主體,及時(shí)調(diào)節(jié)教學(xué)措施,完成教學(xué)目標(biāo),從而達(dá)到較為理想的教學(xué)效果。

基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)6

  一、教材分析

  1、本節(jié)課的地位、作用和意義

  基本不等式又稱為均值不等式,選自普遍高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)(北京師范大學(xué)出版社出版)必修5,第3章第3節(jié)內(nèi)容。學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了完全平方公式、圓、初步認(rèn)識(shí)了不等式,同時(shí),在本章前面兩節(jié)學(xué)習(xí)了比較大小、一元二次不等式等,這些給本節(jié)課提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ);基本不等式是后面基本不等式與最大(小)值的基礎(chǔ),在高中數(shù)學(xué)中有著比較重要的地位,在工業(yè)生產(chǎn)等有比較廣的實(shí)際應(yīng)用。

  2、本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

  我通過(guò)解讀新課標(biāo)和分析教材,認(rèn)為:

  重點(diǎn):通過(guò)對(duì)新課程標(biāo)準(zhǔn)的解讀,教材內(nèi)容的解析,我認(rèn)為結(jié)果固然重要,但數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程更重要,它有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和探究能力,所以均值不等式的推導(dǎo)是本節(jié)課的重點(diǎn)之一;再者,均值不等式有比較廣的應(yīng)用,需重點(diǎn)掌握,而掌握均值不等式,關(guān)鍵是對(duì)不等式成立條件的準(zhǔn)確理解,因此,均值不等式以及其成立的條件也是教學(xué)重點(diǎn)。

  突出重點(diǎn)的方法:我將采用①用分組討論,多媒體展示、引導(dǎo)啟發(fā)法來(lái)突出均值不等式的推導(dǎo);用重復(fù)法(在課堂的每一環(huán)節(jié),以各種方式進(jìn)行強(qiáng)調(diào)均值不等式和其成立的條件),變式教學(xué)來(lái)突出均值不等式及其成立的條件。

  難點(diǎn):很多同學(xué)對(duì)均值不等式成立的條件的認(rèn)識(shí)不深刻,在應(yīng)用時(shí)候常常出錯(cuò)誤,所以,均值不等式成立的.條件是本節(jié)課的難點(diǎn)。

  突破難點(diǎn)的方法:我將采用用重復(fù)法(在課堂的每一環(huán)節(jié),以各種方式進(jìn)行強(qiáng)調(diào)均值不等式和其成立的條件),變式教學(xué)等等來(lái)突破均值不等式成立的條件這個(gè)難點(diǎn)。

  二、教學(xué)目標(biāo)分析

  1、知識(shí)與技能目標(biāo)

  (2)理解的幾何意義。

  (3)能3分鐘內(nèi)寫(xiě)出基本不等式,并說(shuō)明其成立的條件,準(zhǔn)確率為95%

  2、過(guò)程方法與能力目標(biāo)

  (1)探索并了解均值不等式的證明過(guò)程。

  (2)體會(huì)均值不等式的證明方法。

  3、情感、態(tài)度、價(jià)值觀目標(biāo)

  (1)通過(guò)探索均值不等式的證明過(guò)程,培養(yǎng)探索、研究精神。

  (2)通過(guò)對(duì)均值不等式成立的條件的分析,養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度,勇于提出問(wèn)題、分析問(wèn)題的習(xí)慣。“探究”基本不等式的證明(1)

  【三維目標(biāo)】:

  一、知識(shí)與技能

  1.探索并了解基本不等式的證明過(guò)程,體會(huì)證明不等式的基本思想方法;

  2.會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大(小)值問(wèn)題;

  二、過(guò)程與方法

  三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀

  1.通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

  【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】:

  【學(xué)法與教學(xué)用具】:

  2.教學(xué)用具:直角板、圓規(guī)、投影儀(多媒體教室)

  【授課類型】:新授課

  【課時(shí)安排】:1課時(shí)

  【教學(xué)思路】:

  一、創(chuàng)設(shè)情景,揭示課題

  1.提問(wèn):與哪個(gè)大?

  2.基本不等式的幾何背景:

  如圖是在北京召開(kāi)的第24界國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo),會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的,顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車,代表中國(guó)人民熱情好客。你能在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎?(教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系)。

  二、研探新知

  重要不等式:一般地,對(duì)于任意實(shí)數(shù)、,我們有,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立。

  證明:

  所以

基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)7

  各位評(píng)委老師,上午好,我選擇的課題是必修5第三章第四節(jié)《基本不等式》第一課時(shí)。關(guān)于本課的設(shè)計(jì),我將從以下五個(gè)方面向各位評(píng)委老師匯報(bào)。

  一、教材分析

  ◆本節(jié)教材的地位和作用

  ◆教學(xué)目標(biāo)

  ◆教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

  1、本節(jié)教材的地位和作用

  "基本不等式"是必修5的重點(diǎn)內(nèi)容,在課本封面上就體現(xiàn)出來(lái)了(展示課本和參考書(shū)封面)。它是在學(xué)完"不等式的性質(zhì)"、"不等式的解法"及"線性規(guī)劃"的基礎(chǔ)上對(duì)不等式的進(jìn)一步研究。在不等式的證明和求最值過(guò)程中有著廣泛的應(yīng)用。求最值又是高考的熱點(diǎn)。同時(shí)本節(jié)知識(shí)又滲透了數(shù)形結(jié)合、化歸等重要數(shù)學(xué)思想,有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。

  2、教學(xué)目標(biāo)

  (1)知識(shí)目標(biāo):探索基本不等式的證明過(guò)程;會(huì)用基本不等式解決最值問(wèn)題。

  (2)能力目標(biāo):培養(yǎng)學(xué)生觀察、試驗(yàn)、歸納、判斷、猜想等思維能力。

  (3)情感目標(biāo):培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度,體會(huì)數(shù)與形的和諧統(tǒng)一,領(lǐng)略數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和勇于探索的精神。

  3、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

  根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)制定如下的教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

  重點(diǎn):應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式,并從不同角度探索基本不等式。

  難點(diǎn):基本不等式的內(nèi)涵及幾何意義的挖掘,用基本不等式求最值。

  二、教法說(shuō)明

  本節(jié)課借助幾何畫(huà)板,使用多媒體輔助進(jìn)行直觀演示。采用啟發(fā)式教學(xué)法創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景,激發(fā)學(xué)生開(kāi)始嘗試活動(dòng)。運(yùn)用生活中的實(shí)際例子,讓學(xué)生享受解決實(shí)際問(wèn)題的樂(lè)趣。課堂上主要采取對(duì)比分析;讓學(xué)生邊議、邊評(píng);組織學(xué)生學(xué)、思、練。通過(guò)師生和諧對(duì)話,使情感共鳴,讓學(xué)生的潛能、創(chuàng)造性最大限度發(fā)揮,使認(rèn)知效益最大。讓學(xué)生愛(ài)學(xué)、樂(lè)學(xué)、會(huì)學(xué)、學(xué)會(huì)。

  三、學(xué)法指導(dǎo)

  為更好的貫徹課改精神,合理的對(duì)學(xué)生進(jìn)行素質(zhì)教育,在教學(xué)中,始終以學(xué)生主體,教師為主導(dǎo)。因此我在教學(xué)中讓學(xué)生從不同角度去觀察、分析,指導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題,感受知識(shí)的形成過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí)和能力,讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。

  四、教學(xué)設(shè)計(jì)

  ◆運(yùn)用2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)引入

  ◆運(yùn)用分析法證明基本不等式

  ◆不等式的幾何解釋

  ◆基本不等式的應(yīng)用

  1、運(yùn)用2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)引入

  如圖,這是在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)。會(huì)標(biāo)根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的,顏色的`明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車,代表中國(guó)人民熱情好客。(展示風(fēng)車)

  正方形ABCD中,AE⊥BE,BF⊥CF,CG⊥DG,DH⊥AH,設(shè)AE=a,BE=b,則正方形的面積為S=__,Rt△ABE,Rt△BCF,Rt△CDG,Rt△ADH是全等三角形,它們的面積之和是S’=_

  從圖形中易得,s≥s’,即

  問(wèn)題1:它們有相等的情況嗎?何時(shí)相等?

  問(wèn)題2:當(dāng)a,b為任意實(shí)數(shù)時(shí),上式還成立嗎?(學(xué)生積極思考,通過(guò)幾何畫(huà)板幫助學(xué)生理解)

  一般地,對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b,我們有

  當(dāng)且僅當(dāng)(重點(diǎn)強(qiáng)調(diào))a=b時(shí),等號(hào)成立(合情推理)

  問(wèn)題3:你能給出它的證明嗎?(讓學(xué)生獨(dú)立證明)

  設(shè)計(jì)意圖

  (1)運(yùn)用2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)引入,能讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)中國(guó)數(shù)學(xué)的歷史悠久,感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。

  (2)運(yùn)用此圖標(biāo)能較容易的觀察出面積之間的關(guān)系,引入基本不等式很直觀。

  (3)三個(gè)思考題為學(xué)生創(chuàng)造情景,逐層深入,強(qiáng)化理解。

  2、運(yùn)用分析法證明基本不等式

  如果a>0,b>0 ,用和分別代替a,b可以得到

  也可寫(xiě)成

  (強(qiáng)調(diào)基本不等式成立的前提條件"正")(演繹推理)

  問(wèn)題4:你能用不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo)嗎?

  要證①

  只要證②

  要證② ,只要證③

  要證③ ,只要證④

  顯然,④是成立的。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),不等式中的等號(hào)成立。

  (強(qiáng)調(diào)基本不等式取等的條件"等")

  設(shè)計(jì)意圖

  (1)證明過(guò)程課本上是以填空形式出現(xiàn)的,學(xué)生能夠獨(dú)立完成,這也能進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力,符合課改精神;

  (2)證明過(guò)程印證了不等式的正確性,并能加深學(xué)生對(duì)基本不等式的理解;

  (3)此種證明方法是"分析法",在選修教材的《推理與證明》一章中會(huì)重點(diǎn)講解,此處有必要讓學(xué)生初步了解。

  3、不等式的幾何解釋

  如圖,AB是圓的直徑,C是AB上任一點(diǎn),AC=a,CB=b,過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE,連AD,BD,則CD= ,半徑為

  問(wèn)題5:你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?(學(xué)生積極思考,通過(guò)幾何畫(huà)板幫助學(xué)生理解)

  設(shè)計(jì)意圖

  幾何直觀能啟迪思路,幫助理解,因此,借助幾何直觀學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué),是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要方面。只有做到了直觀上的理解,才是真正的理解。

  4、基本不等式的應(yīng)用

  例1.證明

  (學(xué)生自己證明)

  設(shè)計(jì)意圖

  (1)這道例題很簡(jiǎn)單,多數(shù)學(xué)生都會(huì)仿照課本上的分析思路重新證明,能夠練習(xí)"分析法"證明不等式的過(guò)程;

  (2)學(xué)生能夠加深對(duì)基本不等式的理解,a和b不僅僅是一個(gè)字母,而是一個(gè)符號(hào),它們可以是a、b,也可以是x、y,也可以是一個(gè)多項(xiàng)式;

  (3)此例不是課本例題,比課本例題簡(jiǎn)單,這樣,循序漸進(jìn),有利于學(xué)生理解不等式的內(nèi)涵。

  例2:(1)把36寫(xiě)成兩個(gè)正數(shù)的積,當(dāng)兩個(gè)正數(shù)取什么值時(shí),它們的和最小?

  (2)把18寫(xiě)成兩個(gè)正數(shù)的和,當(dāng)兩個(gè)正數(shù)取什么值時(shí),它們的積最大?

  (讓學(xué)生分組合作、探究完成)

  設(shè)計(jì)意圖

  (1)此題目利用基本不等式求最值,包含正用,逆用,體現(xiàn)了基本不等式的應(yīng)用價(jià)值;

  (2)強(qiáng)調(diào)利用不等式求最值的關(guān)鍵點(diǎn):"正""定""等";

  (3)有利于培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)合作的精神。

  練習(xí):(1)若a,b同號(hào),則

  (2)P113練習(xí)1.2

  設(shè)計(jì)意圖

  鞏固基本不等式,讓學(xué)生熟悉公式,并學(xué)會(huì)應(yīng)用。

  小結(jié):(讓學(xué)生暢所欲言)

  設(shè)計(jì)意圖

  有利于發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性,突出學(xué)生的主體地位。

  作業(yè):必做題:P 113 A組3、4

  選做題:

  設(shè)計(jì)意圖

  (1)必做題是讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí),熟練公式應(yīng)用,強(qiáng)化學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的形成;

  (2)選做題達(dá)到分層教學(xué)的目的,根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況,對(duì)他們進(jìn)行素質(zhì)教育。

  時(shí)間安排:引入約5分鐘

  證明基本不等式約10分鐘

  幾何意義約10分鐘

  知識(shí)應(yīng)用約15分鐘

  小結(jié)約5分鐘

  五、板書(shū)設(shè)計(jì)

  分析法證明

  幾何解釋

  例題講解

  小結(jié)

  作業(yè)

  例2

  以上是我對(duì)這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì),懇請(qǐng)各位評(píng)委老師指導(dǎo),謝謝!

基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)8

  知識(shí)與技能:

  理解并掌握不等式的三個(gè)性質(zhì),能運(yùn)用性質(zhì),用不等號(hào)連接某些代數(shù)式,進(jìn)行不等式的變形。

  過(guò)程與方法:

  經(jīng)歷自主學(xué)習(xí),小組交流合作學(xué)習(xí),以及課堂上的成果,培養(yǎng)學(xué)生自主分析問(wèn)題,解決問(wèn)題的能力,養(yǎng)成與他人交流,共同學(xué)習(xí),共同進(jìn)步的學(xué)習(xí)方法。

  情感態(tài)度與價(jià)值觀:在自主分析,交流合作,成果的活動(dòng)中,感受學(xué)習(xí)的樂(lè)趣,體會(huì)與人合作的快樂(lè)。

  教學(xué)難點(diǎn):

  正確運(yùn)用不等式的性質(zhì)。

  教學(xué)重點(diǎn):

  理解并掌握不等式的性質(zhì)3。

  教學(xué)過(guò)程:

  一、創(chuàng)設(shè)情境引入新課

  利用一臺(tái)平衡的天平提出問(wèn)題,引入新課

  1、給不平衡的天平兩邊同時(shí)加入相同質(zhì)量的砝碼,天平會(huì)有什么變化?

  2、不平衡的天平兩邊同時(shí)拿掉相同質(zhì)量的砝碼,天平會(huì)有什么變化?

  3、如果對(duì)不平衡的天平兩邊砝碼的質(zhì)量同時(shí)擴(kuò)大相同的倍數(shù),天平會(huì)平衡嗎?縮小相同的倍數(shù)呢?通過(guò)天平演示,結(jié)合自己的觀察和思考,讓學(xué)生感受生活中的不等關(guān)系。

  二、合作交流探究新知

  1、問(wèn)題情景:數(shù)學(xué)老師比語(yǔ)文老師年齡小。

  1、10年后誰(shuí)的年齡大?

  2、20年之后呢?

  3、5年之前呢?

  假設(shè)數(shù)學(xué),語(yǔ)文兩位老師的年齡分別為a,b,則a

  a+10

  a+20

  a—5

  2、探索與發(fā)現(xiàn)

  一組:已知5>3,則5+2 3+2

  5—2 3—2

  二組:已知—1

  —1—33—3

  想一想不等號(hào)的方向改變嗎?

  3、歸納:不等式的性質(zhì)1:

  不等式兩邊都加(或減去)同一個(gè)數(shù)(或式子),不等號(hào)的方向不變

  如果a<b,那么a+c

  如果a>b,那么a+c >b+c,a—c >b—c。

  不等號(hào)方向不改變!

  4、大膽猜想

  不等式兩邊都加(或減去)同一個(gè)數(shù),不等號(hào)方向不改變

  不等式兩邊都加(或減去)同一個(gè)數(shù),不等號(hào)方向不改變

  不等式兩邊都乘(或除以)同一個(gè)數(shù)(不為零),不等號(hào)的方向呢?

  5、探索與發(fā)現(xiàn)

  已知4

  一組:4×2 6×(—2);

  4÷26÷(—2)。

  思考不等號(hào)方向改變嗎?

  不等式兩邊都乘(或除以)一個(gè)不為零的數(shù),不等號(hào)方向改不改變和什么有關(guān)?

  6、不等式的性質(zhì)2:

  不等式兩邊都乘(或除以)同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向不變。

  如果a>b,且c>0,那么ac>bc,如果a0,那么ac

  7、不等式的性質(zhì)3:

  不等式兩邊都乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)的'方向改變。

  如果a>b,且c

  如果a

  三、鞏固提高拓展延伸

  例1:判斷下列各題的推導(dǎo)是否正確?為什么(學(xué)生口答)

  (1)因?yàn)?.5>5.7,所以—7.5<—5.7;

  (2)因?yàn)閍+8>4,所以a>—4;

  (3)因?yàn)?a>4b,所以a>b;

  (4)因?yàn)椤?>—2,所以—a—1>—a—2;

  (5)因?yàn)?>2,所以3a>2a.

  (1)正確,根據(jù)不等式基本性質(zhì)3.

  (2)正確,根據(jù)不等式基本性質(zhì)1.

  (3)正確,根據(jù)不等式基本性質(zhì)2.

  (4)正確,根據(jù)不等式基本性質(zhì)1.

  (5)不對(duì),應(yīng)分情況逐一討論.

  當(dāng)a>0時(shí),3a>2a.(不等式基本性質(zhì)2)

  當(dāng)a=0時(shí),3a=2a.

  當(dāng)a<0時(shí),3a<2a.(不等式基本性質(zhì)3)

  考考你!0>4,哪里錯(cuò)了?

  已知m>n,兩邊都乘以4,得4m>4n,兩邊都減去4m,得0>4n—4m,即0>4(n—m),兩邊同時(shí)除以(n—m),得0>4。

  等式與不等式的性質(zhì)

  1、不等式的三個(gè)性質(zhì)。

  2、等式與不等式的性質(zhì)對(duì)比。

  先前后比較,再定不等號(hào)

  四、總結(jié)歸納

  1、等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)的不同之處;

  2、在運(yùn)用“不等式性質(zhì)3"時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題.學(xué)生通過(guò)總結(jié),可以幫助自己從整體上把握本節(jié)課所學(xué)知識(shí)培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣,也為下節(jié)課學(xué)好解不等式打下基礎(chǔ)。

  五、布置作業(yè)

  1、必做題:教科書(shū)第134頁(yè)習(xí)題9.1第4、5題

  2、選做題:教科書(shū)第134頁(yè)習(xí)題9。 1第7題.

基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)9

  一、教學(xué)設(shè)計(jì)理念:

  這節(jié)課的目標(biāo)定位分為三個(gè)層面:

  本節(jié)課我設(shè)計(jì)了五個(gè)環(huán)節(jié):

  ①變教學(xué)生學(xué)會(huì)知識(shí)為指導(dǎo)學(xué)生會(huì)學(xué)知識(shí);

  導(dǎo)入新課

  師同學(xué)們能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎?如何找??

  【三維目標(biāo)】:

  一、知識(shí)與技能

  二、過(guò)程與方法

  本節(jié)課是基本不等式應(yīng)用舉例的延伸。整堂課要圍繞如何引導(dǎo)學(xué)生分析題意、設(shè)未知量、找出數(shù)量關(guān)系進(jìn)行求解這個(gè)中心。

  三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀

  1.引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣,發(fā)展創(chuàng)新精神,培養(yǎng)實(shí)事求是、理論與實(shí)際相結(jié)合的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)道德。

  【三維目標(biāo)】:

  一、知識(shí)與技能

  二、過(guò)程與方法

  三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀

  1.通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

  二、重點(diǎn)、難點(diǎn)解讀

  三、知識(shí)點(diǎn)精析

  一、教學(xué)目標(biāo)

  1.知識(shí)與技能

  探究基本不等式的證明過(guò)程,初步理解基本不等式

  2.過(guò)程與方法

  通過(guò)對(duì)基本不等式的`不同角度的探究,滲透數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

  3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀:

  三、教學(xué)資源普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))人教a版教材必修5

  中學(xué)數(shù)學(xué)周刊20xx年第10期百度

  四、教學(xué)方法與手段

  啟發(fā)學(xué)生探究,多媒體輔助教學(xué)

  五、教學(xué)過(guò)程

  (一)創(chuàng)設(shè)情境:

  你能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎?

  設(shè)計(jì)意圖:創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,為問(wèn)題的引出做鋪墊

  (二)新知探究:圖1

  將風(fēng)車抽象成圖2

  當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?圖2

  即時(shí),正方形efgh縮為一個(gè)點(diǎn),這時(shí)有

  2.過(guò)程與方法:通過(guò)實(shí)例探究抽象基本不等式;

  【教學(xué)重點(diǎn)】

  應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式,并從不同角度探索不等式的證明過(guò)程;

  【教學(xué)難點(diǎn)】

  基本不等式等號(hào)成立條件

  【教學(xué)過(guò)程】

  1.課題導(dǎo)入

  基本不等式的幾何背景:

  教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系

  2.講授新課

  1.探究圖形中的不等關(guān)系

  將圖中的“風(fēng)車”抽象成如圖,在正方形abcd中右個(gè)全等的直角三角形。設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為a,b那么正方形的邊長(zhǎng)為。這樣,4個(gè)直角三角形的面積的和是2ab,正方形的面積為。由于4個(gè)直角三角形的面積小于正方形的面積,我們就得到了一個(gè)不等式:。

  當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危碼=b時(shí),正方形efgh縮為一個(gè)點(diǎn),這時(shí)有。

  2.得到結(jié)論:一般的,如果

  3.思考證明:你能給出它的證明嗎?

基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)10

  各位評(píng)委老師,上午好!我是來(lái)應(yīng)聘高中數(shù)學(xué)的一號(hào)考生,我今天說(shuō)課的題目是《基本不等式》,下面我將從說(shuō)教材,說(shuō)學(xué)情,說(shuō)教法,說(shuō)學(xué)法,說(shuō)教學(xué)過(guò)程,說(shuō)板書(shū)設(shè)計(jì)六個(gè)方面展開(kāi)我的說(shuō)課,下面開(kāi)始我的說(shuō)課!

 一、說(shuō)教材。

  1教材的地位和作用:

  《基本不等式》是人教版高中數(shù)學(xué)必修五第三章第四節(jié)的內(nèi)容。本節(jié)主要內(nèi)容是基本不等式的證明和簡(jiǎn)單應(yīng)用。它是在學(xué)完不等式性質(zhì),不等式的解法及線性規(guī)劃等知識(shí)的基礎(chǔ)上,對(duì)不等式的進(jìn)一步研究,在不等式的證明和求最值的過(guò)程中有著廣泛的應(yīng)用。

  2教學(xué)目標(biāo):

  (1)知識(shí)與技能:學(xué)生能寫(xiě)出基本不等式,會(huì)應(yīng)用基本不等式解決相關(guān)問(wèn)題。

  (2)過(guò)程與方法:學(xué)生通過(guò)觀察圖形,推導(dǎo)、證明等過(guò)程,培養(yǎng)觀察、分析、歸納、

  總結(jié)的能力。

  (3)情感態(tài)度與價(jià)值觀:學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值,感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。

  3教學(xué)重難點(diǎn):

  重點(diǎn):理解基本不等式的本質(zhì)并會(huì)解決實(shí)際問(wèn)題。

  難點(diǎn):基本不等式幾何意義的理解。

  二、說(shuō)學(xué)情。

  為了更好地實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo),我將對(duì)學(xué)生情況進(jìn)行一下簡(jiǎn)要分析。對(duì)于高一年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō),他們對(duì)不等式的知識(shí)有了一定的.了解,但對(duì)基本不等式的理解運(yùn)用能力不足。這一階段的學(xué)生正處在由抽象思維到邏輯思維的過(guò)渡期,對(duì)圖形的觀察、分析、總結(jié)可能會(huì)感到比較困難。這都將成為我組織教學(xué)的考慮因素。

  三、說(shuō)教法。

  科學(xué)合理的教學(xué)方法能使教學(xué)效果事半功倍,達(dá)到教育學(xué)的和諧完美與統(tǒng)一。根據(jù)本節(jié)課的特點(diǎn)并結(jié)合新課改的要求,在本節(jié)課中,我將采用講授法、演示法、引導(dǎo)啟發(fā)法等教學(xué)方法。

  四、說(shuō)學(xué)法。

  教師的教是為了學(xué)生更好地學(xué),結(jié)合本節(jié)內(nèi)容,我將學(xué)法確定為自主探究法、分析歸納

  法。充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的眼、手、腦等多種感官參與學(xué)習(xí),既培養(yǎng)了他們的學(xué)習(xí)興趣,又使他們感受到了學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。

  五、說(shuō)教學(xué)過(guò)程。

  首先,我將利用多媒體戰(zhàn)士20xx年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo),讓同學(xué)們邊觀察邊思考:圖上有哪些相等或不等關(guān)系?通過(guò)展示來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。接下來(lái)是新授環(huán)節(jié)。

  我將會(huì)標(biāo)抽象成幾何圖形,正方形ABCD中有4個(gè)全等的直角三角形,讓學(xué)生自主探究,比較三角形面積之和與正方形面積的大小,從而讓學(xué)生自主推導(dǎo)出不等式a 2+b 2>2ab,再通過(guò)引導(dǎo)啟發(fā),讓學(xué)生自己將結(jié)論補(bǔ)充完整。接下來(lái),我會(huì)提問(wèn):你們能給出它的證明嗎?給兩分鐘的時(shí)間讓學(xué)生自主探究。然后用講授法給出基本不等式的常用形式ab≤a+b(a>0,b>0),并給出具體的證明過(guò)程,強(qiáng)調(diào)等號(hào)成立的條件。基本不2

  等式的證明是本節(jié)課的重點(diǎn),先通過(guò)學(xué)生的自主探究,再通過(guò)我的講授,學(xué)生可以更快地理解這一知識(shí)點(diǎn)。接下來(lái)是探究基本不等式的幾何意義。先由學(xué)生自主思考兩分鐘的時(shí)間,然后通過(guò)我的講授,讓學(xué)生理解基本不等式的幾何意義,最后通過(guò)幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示,讓學(xué)生更直觀地感受基本不等式的幾何意義。這樣就突破了基本不等式的幾何意義這一難點(diǎn)。接下來(lái)是鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)。

  這個(gè)環(huán)節(jié),我將利用兩個(gè)例題對(duì)剛才所講的知識(shí)進(jìn)行鞏固練習(xí)。

  例1:證明

  (1)x +1≥2(x >0) x

  (2)a +1≥2a (a ≥0)

  例2:

  (1)用籬笆圍一個(gè)面積為100m的矩形菜園。問(wèn)矩形長(zhǎng)寬各為多少時(shí),所用籬笆最短?

  (2)一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園,問(wèn)長(zhǎng)寬各為多少時(shí)面積最大?第一個(gè)例題不是課本例題,它比課本例題簡(jiǎn)單,這樣循序漸進(jìn),有利于學(xué)生理解不等式的內(nèi)涵,此處a、b不僅僅是一個(gè)字母,而是一個(gè)符號(hào),可以是具體數(shù)字,也可以是一個(gè)多項(xiàng)式。對(duì)于這個(gè)例題,多數(shù)學(xué)生會(huì)仿照課本上的思路用分析法進(jìn)行證明。

  第二個(gè)例題是利用基本不等式求最值進(jìn)而解決實(shí)際問(wèn)題,體現(xiàn)了基本不等式的應(yīng)用價(jià)值,而且例題包含了公式的正向應(yīng)用和逆向應(yīng)用,鍛煉了學(xué)生的靈活使用能力。

  下面是小結(jié)環(huán)節(jié)。我將讓學(xué)生用兩分鐘的時(shí)間回顧本節(jié)課所學(xué)習(xí)的內(nèi)容,并自己總結(jié)出本節(jié)的知識(shí)點(diǎn)。這樣不但能鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí),而且能培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納、總結(jié)的能力。22

  然后是布置作業(yè)。為了在課后對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行鞏固,我將布置課后習(xí)題第2題,第4題作為練習(xí)題。

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