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高一數學必修一知識點總結

時間:2024-12-29 12:40:20 總結范文 我要投稿

人教版高一數學必修一知識點總結

  總結就是對一個時期的學習、工作或其完成情況進行一次全面系統的回顧和分析的書面材料,它在我們的學習、工作中起到呈上啟下的作用,不如我們來制定一份總結吧?偨Y你想好怎么寫了嗎?以下是小編收集整理的人教版高一數學必修一知識點總結,希望能夠幫助到大家。

人教版高一數學必修一知識點總結

人教版高一數學必修一知識點總結1

  集合有關概念

  集合的含義

  集合的中元素的三個特性:

  元素的確定性如:世界上的山

  元素的互異性如:由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}

  元素的無序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合

  3.集合的表示:{…}如:{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

  用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

  集合的表示方法:列舉法與描述法。

  注意:常用數集及其記法:

  非負整數集(即自然數集)記作:N

  正整數集N_N+整數集Z有理數集Q實數集R

  列舉法:{a,b,c……}

  描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內表示集合的方法。{x(R|x-3>2},{x|x-3>2}

  語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

  Venn圖:

  4、集合的分類:

  有限集含有有限個元素的集合

  無限集含有無限個元素的`集合

  空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}

  集合間的基本關系

  1.“包含”關系—子集

  注意:有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一集合。

  反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA

  2.“相等”關系:A=B(5≥5,且5≤5,則5=5)

  實例:設A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”

  即:①任何一個集合是它本身的子集。A(A

 、谡孀蛹:如果A(B,且A(B那就說集合A是集合B的真子集,記作AB(或BA)

 、廴绻鸄(B,B(C,那么A(C

 、苋绻鸄(B同時B(A那么A=B

  3.不含任何元素的集合叫做空集,記為Φ

  規定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。

  有n個元素的集合,含有2n個子集,2n-1個真子集

人教版高一數學必修一知識點總結2

  一、集合

  一、集合有關概念

  1.集合的含義

  2.集合的中元素的三個特性:

  (1)元素的確定性如:世界上的山

  (2)元素的互異性如:由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}

  (3)元素的無序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合

  3.集合的表示:{…}如:{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

  (1)用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

  (2)集合的表示方法:列舉法與描述法。

  ?注意:常用數集及其記法:

  非負整數集(即自然數集)記作:N

  正整數集N_N+整數集Z有理數集Q實數集R

  1)列舉法:{a,b,c……}

  2)描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內表示集合的方法。{x?R|x-3>2},{x|x-3>2}

  3)語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

  4)Venn圖:

  4、集合的分類:

  (1)有限集含有有限個元素的集合

  (2)無限集含有無限個元素的集合

  (3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}

  二、集合間的基本關系

  1.“包含”關系—子集

  注意:有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一集合。

  反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA

  2.“相等”關系:A=B(5≥5,且5≤5,則5=5)

  實例:設A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”

  即:①任何一個集合是它本身的子集。A?A

  ②真子集:如果A?B,且A?B那就說集合A是集合B的真子集,記作AB(或BA)

 、廴绻鸄?B,B?C,那么A?C

 、苋绻鸄?B同時B?A那么A=B

  3.不含任何元素的集合叫做空集,記為Φ

  規定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。

  ?有n個元素的集合,含有2n個子集,2n-1個真子集

  二、函數

  1、函數定義域、值域求法綜合

  2.、函數奇偶性與單調性問題的解題策略

  3、恒成立問題的求解策略

  4、反函數的幾種題型及方法

  5、二次函數根的問題——一題多解

  &指數函數y=a^x

  a^a_^b=a^a+b(a>0,a、b屬于Q)

  (a^a)^b=a^ab(a>0,a、b屬于Q)

  (ab)^a=a^a_^a(a>0,a、b屬于Q)

  指數函數對稱規律:

  1、函數y=a^x與y=a^-x關于y軸對稱

  2、函數y=a^x與y=-a^x關于x軸對稱

  3、函數y=a^x與y=-a^-x關于坐標原點對稱

  &對數函數y=loga^x

  如果,且,那么:

  ○1?+;

  ○2-;

  ○3.

  注意:換底公式

  (,且;,且;).

  冪函數y=x^a(a屬于R)

  1、冪函數定義:一般地,形如的函數稱為冪函數,其中為常數.

  2、冪函數性質歸納.

  (1)所有的冪函數在(0,+∞)都有定義并且圖象都過點(1,1);

  (2)時,冪函數的圖象通過原點,并且在區間上是增函數.特別地,當時,冪函數的圖象下凸;當時,冪函數的圖象上凸;

  (3)時,冪函數的圖象在區間上是減函數.在第一象限內,當從右邊趨向原點時,圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸,當趨于時,圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸.

  方程的根與函數的零點

  1、函數零點的概念:對于函數,把使成立的實數叫做函數的零點。

  2、函數零點的意義:函數的零點就是方程實數根,亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標。

  即:方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數有零點.

  3、函數零點的求法:

  ○1(代數法)求方程的實數根;

  ○2(幾何法)對于不能用求根公式的方程,可以將它與函數的圖象聯系起來,并利用函數的性質找出零點.

  4、二次函數的`零點:

  二次函數.

  (1)△>0,方程有兩不等實根,二次函數的圖象與軸有兩個交點,二次函數有兩個零點.

  (2)△=0,方程有兩相等實根,二次函數的圖象與軸有一個交點,二次函數有一個二重零點或二階零點.

  (3)△<0,方程無實根,二次函數的圖象與軸無交點,二次函數無零點.

  三、平面向量

  向量:既有大小,又有方向的量.

  數量:只有大小,沒有方向的量.

  有向線段的三要素:起點、方向、長度.

  零向量:長度為的向量.

  單位向量:長度等于個單位的向量.

  相等向量:長度相等且方向相同的向量

  &向量的運算

  加法運算

  AB+BC=AC,這種計算法則叫做向量加法的三角形法則。

  已知兩個從同一點O出發的兩個向量OA、OB,以OA、OB為鄰邊作平行四邊形OACB,則以O為起點的對角線OC就是向量OA、OB的和,這種計算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。

  對于零向量和任意向量a,有:0+a=a+0=a。

  |a+b|≤|a|+|b|。

  向量的加法滿足所有的加法運算定律。

  減法運算

  與a長度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,-(-a)=a,零向量的相反向量仍然是零向量。

  (1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。

  數乘運算

  實數λ與向量a的積是一個向量,這種運算叫做向量的數乘,記作λa|λa|=|λ||a|,當λ>0時,λa的方向和a的方向相同,當λ<0時,λa的方向和a的方向相反,當λ=0時,λa=0。

  設λ、μ是實數,那么:(1)(λμ)a=λ(μa)(2)(λμ)a=λaμa(3)λ(a±b)=λa±λb(4)(-λ)a=-(λa)=λ(-a)。

  向量的加法運算、減法運算、數乘運算統稱線性運算。

  向量的數量積

  已知兩個非零向量a、b,那么|a||b|cosθ叫做a與b的數量積或內積,記作a?b,θ是a與b的夾角|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量與任意向量的數量積為0。

  a?b的幾何意義:數量積a?b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積。

  兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和。

  四、三角函數

  1、善于用“1“巧解題

  2、三角問題的非三角化解題策略

  3、三角函數有界性求最值解題方法

  4、三角函數向量綜合題例析

  5、三角函數中的數學思想方法

人教版高一數學必修一知識點總結3

  【集合與函數概念】

  一、集合有關概念

  1.集合的含義

  2.集合的中元素的三個特性:

  (1)元素的確定性如:世界上的山

  (2)元素的互異性如:由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}

  (3)元素的無序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合

  3.集合的表示:{…}如:{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

  (1)用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

  (2)集合的表示方法:列舉法與描述法。

  注意:常用數集及其記法:XKb1

  非負整數集(即自然數集)記作:N

  正整數集:N_N+

  整數集:Z

  有理數集:Q

  實數集:R

  1)列舉法:{a,b,c……}

  2)描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內表示集合{x?R|x-3>2},{x|x-3>2}

  3)語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

  4)Venn圖:

  4、集合的分類:

  (1)有限集含有有限個元素的集合

  (2)無限集含有無限個元素的集合

  (3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}

  二、集合間的基本關系

  1.“包含”關系—子集

  注意:有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一集合。

  反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA

  2.“相等”關系:A=B(5≥5,且5≤5,則5=5)

  實例:設A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”

  即:①任何一個集合是它本身的子集。AíA

 、谡孀蛹:如果AíB,且A1B那就說集合A是集合B的真子集,記作AB(或BA)

 、廴绻鸄íB,BíC,那么AíC

 、苋绻鸄íB同時BíA那么A=B

  3.不含任何元素的集合叫做空集,記為Φ

  規定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的`真子集。

  4.子集個數:

  有n個元素的集合,含有2n個子集,2n-1個真子集,含有2n-1個非空子集,含有2n-1個非空真子集

  三、集合的運算

  運算類型交集并集補集

  定義由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.記作AB(讀作‘A交B’),即AB={x|xA,且xB}.

  由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合,叫做A,B的并集.記作:AB(讀作‘A并B’),即AB={x|xA,或xB}).

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  一、集合有關概念

  1.集合的含義

  2.集合的中元素的三個特性:

  (1)元素的確定性,(2)元素的互異性,(3)元素的無序性,3.集合的表示:{…}如:{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

  (1)用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

  (2)集合的表示方法:列舉法與描述法。

  ?注意:常用數集及其記法:

  非負整數集(即自然數集)記作:N

  正整數集N_N+整數集Z有理數集Q實數集R

  1)列舉法:{a,b,c……}

  2)描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內表示集合的方法。{x?R|x-3>2},{x|x-3>2}

  3)語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

  4)Venn圖:

  4、集合的分類:

  (1)有限集含有有限個元素的集合

  (2)無限集含有無限個元素的集合

  (3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}

  二、集合間的基本關系

  1.“包含”關系—子集

  注意:有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一集合。

  反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA

  2.“相等”關系:A=B(5≥5,且5≤5,則5=5)

  實例:設A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”

  即:①任何一個集合是它本身的子集。A?A

  ②真子集:如果A?B,且A?B那就說集合A是集合B的真子集,記作AB(或BA)

 、廴绻鸄?B,B?C,那么A?C

  ④如果A?B同時B?A那么A=B

  3.不含任何元素的集合叫做空集,記為Φ

  規定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。

  有n個元素的集合,含有2n個子集,2n-1個真子集

  三、集合的運算

  運算類型交集并集補集

  定義由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.記作AB(讀作‘A交B’),即AB={x|xA,且xB}.

  由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合,叫做A,B的并集.記作:AB(讀作‘A并B’),即AB={x|xA,或xB}).

  設S是一個集合,A是S的一個子集,由S中所有不屬于A的元素組成的集合,叫做S中子集A的補集(或余集)

  例題:

  1.下列四組對象,能構成集合的是()

  A某班所有高個子的學生B的藝術家C一切很大的書D倒數等于它自身的實數

  2.集合{a,b,c}的真子集共有個

  3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0},則M與N的關系是.

  4.設集合A=,B=,若AB,則的取值范圍是

  5.50名學生做的物理、化學兩種實驗,已知物理實驗做得正確得有40人,化學實驗做得正確得有31人,兩種實驗都做錯得有4人,則這兩種實驗都做對的有人。

  6.用描述法表示圖中陰影部分的點(含邊界上的點)組成的集合M=.

  7.已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2-mx+m2-19=0},若B∩C≠Φ,A∩C=Φ,求m的值

  二、函數的有關概念

  1.函數的概念:設A、B是非空的數集,如果按照某個確定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個數x,在集合B中都有確定的數f(x)和它對應,那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數.記作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數值,函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域.

  注意:

  1.定義域:能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域。

  求函數的定義域時列不等式組的主要依據是:

  (1)分式的分母不等于零;

  (2)偶次方根的被開方數不小于零;

  (3)對數式的真數必須大于零;

  (4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1.

  (5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的那么,它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.

  (6)指數為零底不可以等于零,(7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.

  相同函數的判斷方法:①表達式相同(與表示自變量和函數值的字母無關);②定義域一致(兩點必須同時具備)

  (見課本21頁相關例2)

  2.值域:先考慮其定義域

  (1)觀察法

  (2)配方法

  (3)代換法

  3.函數圖象知識歸納

  (1)定義:在平面直角坐標系中,以函數y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標,函數值y為縱坐標的點P(x,y)的集合C,叫做函數y=f(x),(x∈A)的圖象.C上每一點的坐標(x,y)均滿足函數關系y=f(x),反過來,以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x,y),均在C上.

  (2)畫法

  A、描點法:

  B、圖象變換法

  常用變換方法有三種

  1)平移變換

  2)伸縮變換

  3)對稱變換

  4.區間的概念

  (1)區間的分類:開區間、閉區間、半開半閉區間

  (2)無窮區間

  (3)區間的數軸表示.

  5.映射

  一般地,設A、B是兩個非空的集合,如果按某一個確定的對應法則f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有確定的元素y與之對應,那么就稱對應f:AB為從集合A到集合B的一個映射。記作f:A→B

  6.分段函數

  (1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的'函數。

  (2)各部分的自變量的取值情況.

  (3)分段函數的定義域是各段定義域的交集,值域是各段值域的并集.

  補充:復合函數

  如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、g的復合函數。

  二.函數的性質

  1.函數的單調性(局部性質)

  (1)增函數

  設函數y=f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1,x2,當x1

  如果對于區間D上的任意兩個自變量的值x1,x2,當x1f(x2),那么就說f(x)在這個區間上是減函數.區間D稱為y=f(x)的單調減區間.

  注意:函數的單調性是函數的局部性質;

  (2)圖象的特點

  如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數,那么說函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性,在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的,減函數的圖象從左到右是下降的

  (3).函數單調區間與單調性的判定方法

  (A)定義法:

  ○1任取x1,x2∈D,且x1

  ○2作差f(x1)-f(x2);

  ○3變形(通常是因式分解和配方);

  ○4定號(即判斷差f(x1)-f(x2)的正負);

  ○5下結論(指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性).

  (B)圖象法(從圖象上看升降)

  (C)復合函數的單調性

  復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x),y=f(u)的單調性密切相關,其規律:“同增異減”

  注意:函數的單調區間只能是其定義域的子區間,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集.

  8.函數的奇偶性(整體性質)

  (1)偶函數

  一般地,對于函數f(x)的定義域內的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函數.

  (2).奇函數

  一般地,對于函數f(x)的定義域內的任意一個x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函數.

  (3)具有奇偶性的函數的圖象的特征

  偶函數的圖象關于y軸對稱;奇函數的圖象關于原點對稱.

  利用定義判斷函數奇偶性的步驟:

  ○1首先確定函數的定義域,并判斷其是否關于原點對稱;

  ○2確定f(-x)與f(x)的關系;

  ○3作出相應結論:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,則f(x)是偶函數;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,則f(x)是奇函數.

  (2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定;

  (3)利用定理,或借助函數的圖象判定.

  9、函數的解析表達式

  (1).函數的解析式是函數的一種表示方法,要求兩個變量之間的函數關系時,一是要求出它們之間的對應法則,二是要求出函數的定義域.

  (2)求函數的解析式的主要方法有:

  1)湊配法

  2)待定系數法

  3)換元法

  4)消參法

  10.函數(小)值(定義見課本p36頁)

  ○1利用二次函數的性質(配方法)求函數的(小)值

  ○2利用圖象求函數的(小)值

  ○3利用函數單調性的判斷函數的(小)值:

  如果函數y=f(x)在區間[a,b]上單調遞增,在區間[b,c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有值f(b);

  如果函數y=f(x)在區間[a,b]上單調遞減,在區間[b,c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b);

  例題:

  1.求下列函數的定義域:

 、泞

  2.設函數的定義域為,則函數的定義域為__

  3.若函數的定義域為,則函數的定義域是

  4.函數,若,則=

  6.已知函數,求函數,的解析式

  7.已知函數滿足,則=。

  8.設是R上的奇函數,且當時,,則當時=

  在R上的解析式為

  9.求下列函數的單調區間:

  10.判斷函數的單調性并證明你的結論.

  11.設函數判斷它的奇偶性并且求證

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