數學與哲學的關系

　　哲學，在學術界里，對于這一詞并無普遍接受的定義，也預見不到有達成一致定義的可能。單就西方學術史來說，哲學是對一些問題的研究，涉及等概念。數學，是研究現實世界中數量關系和空間形式的，簡單地說，是研究數和形的科學。數學是社會科學和自然科學的基礎，哲學是社會科學和自然科學的概括。關鍵詞：哲學；數學；原理；關系哲學是對普遍而基本的問題的研究，這些問題多與實在、存在、知識、價值、理性、心靈、語言等有關。在東方，哲學一詞通常用來說明一個人對生活的某種看法（例如某人的“人生哲學”）和基本原則（例如價值觀、思想、行為）。而在學術上的哲學，則是對這些基本原則的理性根據的質疑、反思，并試圖對這些基本原則進行理性的重建。在日常用語中，“哲學”一詞可以引申為個人或團體最基本的信仰、概念和態度，哲學一詞可以是指一種宗旨、主張或者理念。

　　而對于我的專業-——基礎數學，我認為我的這個專業，必然和哲學有著千絲萬縷的關系，我發現了張景中院士獻給數學愛好者的禮物——《數學與哲學》一書，書中主要內容包括了“萬物皆數”觀點的破滅與再生、哪種幾何才是真的、變量·無窮小·量的鬼魂、自然數有多少、羅素悖論引起的軒然大波、數是什么、是真的但又不能證明等內容，使我開闊了視野，對于研究生期間要學習的內容，也有了更深層次的見解。

　　由于具體的數學問題多如繁星，數學家往往整天埋頭于解決數學問題，無暇關注數學發展中出現的“矛盾”。但數學史告訴我們，恰好是“矛盾”的一次次解決，才導致數學發展的飛躍與深化。張景中的書《數學與哲學》就是對數學發展中這些重大的歷史事件，用通俗的講法向大眾展示當時的爭論內容與形勢，及以后的解決辦法及數學的飛躍發展。

　　例如關于數，是否僅有自然數及由它產生的有理數就夠了。那么√2是什么？這就導致無理數的產生。在歐氏幾何中，不少人企圖給出第五公設的證明，但都失敗了。這導致非歐幾何的產生；無窮小量的應用與定義，導致嚴格實數極限理論的建立；無窮集合的比較；集合定義的確定及哥德爾定理，等等。每經過這些重大的歷史事件，數學思想都得到飛躍，從而使數學得到質的發展與飛躍。

　　翻開西方數學史或哲學史，我們會發現一個有趣而重要的現象：西方數學與哲學有著千絲萬縷的聯系。這種聯系不但源源流長，而且綿延至今。追溯起來，數學與哲學自西方哲學誕生之日起就結下了不解之緣。西方第一位哲學家泰勒斯是數學家；著名數學家畢達哥拉斯在對數學的深入研究上得出了“萬物皆數”的著名哲學命題；大哲學家柏拉圖相信數是一種獨特的客觀存在，由

　　此產生了數學上的“柏拉圖主義”??進入20世紀，圍繞著數學基礎研究所產生的三大流派更是把兩者的關系推向了高峰。

　　在這兩千多年結伴而行的漫長歲月里，哲學與數學相互影響，相互促進，與此同時也產生了許多介于兩者之間的問題。比如：如何理解數學的真理性？什么是數？如何理解無窮、連續概念？等等。對這一系列問題的研究與探討，促成了對數學進行哲學分析的數學哲學分支的確立。然而，由于問題的復雜，涉及面的廣泛，分歧的眾多，一般人對之只能望而卻步，對有關數學哲學研究有一個概貌了解都成為一件困難的事情。

　　再比如，“模糊的哲學與精確的數學——人類的望遠鏡與顯微鏡”來描述數學與哲學各自的特點；“數學的領域在擴大。哲學的地盤在縮小”等等。值得注意的是我們可以對自己的部分數學研究工作做出新穎的哲學分析。例如從常微分方程的研究出發，可以探討了關于演繹與歸納統一性問題；用泛函分析原理說明泛函與算子的共性與差異等。

　　我們知道，可裂的文化的部門：科學、文學、藝術、政治、宗教、倫理??需要注意的是，數學也是文化的一部分。數學和任何其他學科不同，它幾乎是任何科學所不可缺少的。沒有任何一門科學能像它那樣恩澤廣布。它是現代科學技術的語言和工具，這一點大概沒有什么人會懷疑了。它的思想是許多物理學說的核心，并為它們的出現開辟了道路，了解這一點的人就比較少了。它曾經是科學革命的旗幟，現代科學之所以成為現代科學，第一個決定性的步驟是使自己數學化。為什么會這樣?因為數學在人類理性思維活動中有一些特點。這些特點的形成離不開各個時代的總的文化背景，同時又是數學影響人類文化最突出之點。我這里并不想概括什么是數學文化，而只是就它對人類精神生活影響最突出之處提出一些看法。誠然，其他的學科也可能有這些特點，但大抵是與受數學的影響分不開的。

　　在我看來，數學作為人類文化組成部分的另一個特點是它不斷追求最簡單的、最深層次的、超出人類感官所及的宇宙的根本。所有這些研究都是在極抽象的形式下進行的。這是一種化繁為簡以求統一的過程。很早以前，人們就有一個信念：冥冥之中最深處宇宙有一個偉大的、統一的、而且簡單的設計圖，這是一個數學設計圖。在一切比較深入的科學研究后面，必定有一種信念驅使我們。這個信念就是：世界是合理的，簡單的，因而是可以理解的。對于數學研究則還要加上一點：這個世界的合理性，首先在于它可以用數學來描述。在古代，這個信念有些神秘色彩。可是發展到現代，科學經過了多次偉大的綜合。例如歐幾里得的綜合。牛頓牛頓在數學上創建了微積分，在物理學上建立了經典物理學理論體系，在天文學上提出了萬有引力定律，是近代科學的集大成者的綜合；麥克斯韋提出了作為經典電動力學基礎的麥克斯韋方程組，統一了電磁理論的綜合；愛因斯坦在光量子論、分子運動論方面都成績卓著。他創建的狹義相對論和廣義相對論，在更高層次上解釋了物質運動和時空關系，推動了現代物理學的革命，是一種新的綜合；量子物理的綜合指以量子力學為核心的量子物理學所取得的成就。量子力學是研究微觀粒子運動規律的科學，已成為

　　近代物理學的基礎理論之一，并且得到廣泛的應用。；計算機的出現，哪一次不是或多或少遵循這個信念?也許有例外：達爾文和孟德爾通過進行豌豆雜交實驗，提出了遺傳的分離定律和獨立分配定律，這兩個定律成為遺傳學的基本定律。，但是今天已經開始，人們在用數學去討論物種的進化與競爭，討論遺傳的規律。人們會又一次看見宇宙的根本規律表現為一種抽象的、至少是數學味很重的設計圖。這不是幻想而是現實。為什么DNA的雙螺旋結構是在卡文迪什實驗室是世界上最有聲望的物理學研究和教育中心之一。這所實驗室是為紀念英國物理學家和化學家卡文迪什命名的。完成了研究分子結構的X射線衍射方法，X射線照射到分子整齊排列的晶體上時，會產生一系列衍射點。從這些衍射點的空間排列規律及強度，可以推算出分子在晶體中的排列情況和原子在分子中的立體排列情況。利用這一原理測定分子立體結構的方法稱為X射線衍射方法。

　　美國遺傳學家沃森和英國物理學家克里克根據英國晶體衍射專家維爾金斯對脫氧核糖核的X射線衍射資料，提出了DNA的雙螺旋結構模型。那么多好處?難道看不出這也是一種把生命歸結為最簡單成分的不同位置、不同形式、不同數量而成的數學味很重的結構嗎?這種深層次的研究是能破除迷信的，它鼓勵人們按照最深刻的內在規律來考慮事物。我們為世界圖景的精巧和合理而欣喜而驚異。這種感情正是人類文化精神的結晶。數學正是在這樣的文化氣氛中成長的，而反過來推動這種文化氣氛的發展。現在應該提出的問題是，對這樣一種信念應該怎樣去估價？是否還應該同時也看到它的不足的一面?從科學史看來，一直存在一種“還原”的傾向：把復雜的現象歸結為一些最簡單的最原始的因素的作用。物體分成了“質點”、“電荷”；分成了分子、原子、亞原子的粒子；生物分成了細胞，然后又是細胞核、細胞質、染色體真核細胞有絲分裂和減數分裂時出現的由染色質聚集而成的結構，一般呈棒狀，因易被堿性染料著色，故稱染色體，主要由核酸和蛋白質組成，是遺傳物質的主要基礎、基因遺傳物質的最小功能單位，多數生物的基因由脫氧核糖核酸構成，并在染色體上呈線狀排列。

　　核酸由數十至數十億個核苷酸通過磷酸二酯鍵連接成的生物大分子，存在于所有動物、植物、微生物體內，根據組成成分不同可分為脫氧核糖核酸和核糖核酸兩大類，是生命最基本的物質之一。豐富無比、千差萬別的世界的多樣性似乎越來越被歸納為這些基本的成分或稱為宇宙的磚石在數量上、形狀上、結構上的差別，這當然是數學發揮作用的大好場所。同時也就產生了一種越來越深刻的疑問：大千世界真是由這些最簡單的成分疊加的嗎?難道線性的疊加原理指事物呈直線增長。線性是一個數學概念，即數學對象之間的關系是以一次的形式來表達的，是成正比例增長的，可以用直線表示。竟是宇宙的最根本法則嗎?由一堆磚石固然可以建成宏偉的紀念碑，卻也可以搭起一座馬棚，它們的區別究竟何在?可是，每一個從事數學研究的人仍然抱有下面說的信念：想解決這個更深刻的問題——我把它稱為綜合，而把那種還原的傾向稱為分析——仍然要靠數學，當代數學的發展將越來越證實這一點。

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