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高中函數基本性質知識點總結

時間：2024-09-05 14:28:04 總結范文我要投稿

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高中函數基本性質知識點總結

　　在年少學習的日子里，看到知識點，都是先收藏再說吧！知識點是傳遞信息的基本單位，知識點對提高學習導航具有重要的作用。你知道哪些知識點是真正對我們有幫助的嗎？以下是小編為大家整理的高中函數基本性質知識點總結，僅供參考，大家一起來看看吧。

高中函數基本性質知識點總結

　　知識點概述

　　關于函數的基本性質的知識點是一個系統的知識體系,需要重點掌握.

　　知識點總結

　　1.函數的有關概念

　　函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數.記作： y=f(x)，xA.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x) xA }叫做函數的值域.

　　注意：如果只給出解析式y=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數的定義域即是指能使這個式子有意義的實數的集合; 函數的定義域、值域要寫成集合或區間的形式.

　　2.定義域補充

　　能使函數式有意義的實數 x 的集合稱為函數的定義域，求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：

　　(1) 分式的分母不等于零;

　　(2) 偶次方根的被開方數不小于零;

　　(3) 對數式的真數必須大于零;

　　(4) 指數、對數式的底必須大于零且不等于 1.

　　(5) 如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的 . 那么，它的定義域是使各部分都有意義的 x 的值組成的集合 .

　　(6)指數為零底不可以等于零

　　構成函數的三要素：定義域、對應關系和值域

　　再注意：

　　(1)構成函數三個要素是定義域、對應關系和值域.由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數相等(或為同一函數)

　　(2)兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變量和函數值的字母無關。相同函數的判斷方法：①表達式相同;②定義域一致 (兩點必須同時具備)

　　值域補充

　　( 1 )、函數的值域取決于定義域和對應法則，不論采取什么方法求函數的值域都應先考慮其定義域 .

　　( 2 ) . 應熟悉掌握一次函數、二次函數、指數、對數函數及各三角函數的值域，它是求解復雜函數值域的基礎 .

　　( 3 ) . 求函數值域的常用方法有：直接法、反函數法、換元法、配方法、均值不等式法、判別式法、單調性法等 .

　　3. 函數圖象知識歸納

　　(1) 定義：在平面直角坐標系中，以函數 y=f(x) , (x A)中的 x 為橫坐標，函數值 y 為縱坐標的點 P(x ， y) 的集合 C ，叫做函數 y=f(x),(x A)的圖象.

　　C 上每一點的坐標 (x ， y) 均滿足函數關系 y=f(x) ，反過來，以滿足 y=f(x) 的每一組有序實數對 x 、 y 為坐標的點 (x ， y) ，均在 C 上 . 即記為 C={ P(x,y) y= f(x) , x A }

　　圖象 C 一般的是一條光滑的連續曲線 ( 或直線 ), 也可能是由與任意平行與 Y 軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成 .

　　(2) 畫法

　　A、描點法：根據函數解析式和定義域，求出 x,y 的一些對應值并列表，以 (x,y) 為坐標在坐標系內描出相應的點 P(x, y) ，最后用平滑的曲線將這些點連接起來 .

　　B、圖象變換法(請參考必修4三角函數)

　　常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換

　　(3) 作用：

　　1 、直觀的看出函數的性質;

　　2 、利用數形結合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。發現解題中的錯誤。

　　4.快去了解區間的概念

　　(1)區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間;

　　(2)無窮區間;

　　(3)區間的數軸表示.

　　5.什么叫做映射

　　一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：A B為從集合A到集合B的一個映射。記作f：A B

　　給定一個集合A到B的映射，如果aA,bB.且元素a和元素b對應，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

　　說明：函數是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應，

　�、偌螦、B及對應法則f是確定的;

　�、趯▌t有方向性，即強調從集合A到集合B的對應，它與從B到A的對應關系一般是不同的;

　�、蹖τ谟成鋐：AB來說，則應滿足：

　　(Ⅰ)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的;

　　(Ⅱ)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個;

　　Ⅲ)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

　　常用的函數表示法及各自的優點：

　　函數圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函數圖象的依據;

　　解析法：必須注明函數的定義域;

　　圖象法：描點法作圖要注意：確定函數的定義域;化簡函數的解析式;觀察函數的特征;

　　列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征.

　　注意�。�解析法：便于算出函數值。列表法：便于查出函數值。圖象法：便于量出函數值

　　補充一：分段函數 (參見課本P24-25)

　　在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。在不同的范圍里求函數值時必須把自變量代入相應的表達式。分段函數的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函數值幾種不同的表達式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況.

　　(1)分段函數是一個函數，不要把它誤認為是幾個函數;

　　(2)分段函數的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集.

　　補充二：復合函數

　　如果 y=f(u),(u M),u=g(x),(xA),則 y=f[g(x)]=F(x)，(xA) 稱為f、g的復合函數。

　　常見考點考法

　　關于值域定義域的考核是重點

　　拓展：

　　一、函數自身的對稱性探究

　　定理1.函數 y = f (x)的圖像關于點A (a ,b)對稱的充要條件是

　　f (x) + f (2a－x) = 2b

　　證明：（必要性）設點P(x ,y)是y = f (x)圖像上任一點，∵點P( x ,y)關于點A (a ,b)的對稱點P'（2a－x，2b－y）也在y = f (x)圖像上，∴ 2b－y = f (2a－x)

　　即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得證。

　�。ǔ浞中裕┰O點P(x0,y0)是y = f (x)圖像上任一點，則y0 = f (x0)

　　∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。

　　故點P'（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 圖像上，而點P與點P'關于點A (a ,b)對稱，充分性得征。

　　推論：函數 y = f (x)的圖像關于原點O對稱的充要條件是f (x) + f (－x) = 0

　　定理2. 函數 y = f (x)的圖像關于直線x = a對稱的充要條件是

　　f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （證明留給讀者）

　　推論：函數 y = f (x)的圖像關于y軸對稱的充要條件是f (x) = f (－x)

　　定理3. ①若函數y = f (x) 圖像同時關于點A (a ,c)和點B (b ,c)成中心對稱（a≠b），則y = f (x)是周期函數，且2 a－b是其一個周期。

　�、谌艉瘮祔 = f (x) 圖像同時關于直線x = a 和直線x = b成軸對稱（a≠b），則y = f (x)是周期函數，且2 a－b是其一個周期。

　�、廴艉瘮祔 = f (x)圖像既關于點A (a ,c) 成中心對稱又關于直線x =b成軸對稱（a≠b），則y = f (x)是周期函數，且4 a－b是其一個周期。

　�、佗诘淖C明留給讀者，以下給出③的證明：

　　∵函數y = f (x)圖像既關于點A (a ,c) 成中心對稱，

　　∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：

　　f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）

　　又∵函數y = f (x)圖像直線x =b成軸對稱，

　　∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得：

　　f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a－b）－x代x得

　　f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：

　　f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函數，且4 a－b是其一個周期。

　　二、不同函數對稱性的探究

　　定理4. 函數y = f (x)與y = 2b－f (2a－x)的圖像關于點A (a ,b)成中心對稱。

　　定理5. ①函數y = f (x)與y = f (2a－x)的圖像關于直線x = a成軸對稱。

　�、诤瘮祔 = f (x)與a－x = f (a－y)的圖像關于直線x +y = a成軸對稱。

　�、酆瘮祔 = f (x)與x－a = f (y + a)的圖像關于直線x－y = a成軸對稱。

　　定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現證定理5中的③

　　設點P(x0 ,y0)是y = f (x)圖像上任一點，則y0 = f (x0)。記點P( x ,y)關于直線x－y = a的軸對稱點為P'（x1， y1），則x1 = a + y0 , y1 = x0－a ，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f (x0)之中得x1－a = f (a + y1) ∴點P'（x1， y1）在函數x－a = f (y + a)的圖像上。

　　同理可證：函數x－a = f (y + a)的圖像上任一點關于直線x－y = a的軸對稱點也在函數y = f (x)的圖像上。故定理5中的③成立。

　　推論：函數y = f (x)的圖像與x = f (y)的圖像關于直線x = y 成軸對稱。

　　三、三角函數圖像的對稱性列表

　　注：①上表中k∈Z

　�、趛 = tan x的所有對稱中心坐標應該是(kπ/2 ,0 )，而在岑申、王而冶主編的浙江教育出版社出版的21世紀高中數學精編第一冊（下）及陳兆鎮主編的廣西師大出版社出版的高一數學新教案（修訂版）中都認為y = tan x的所有對稱中心坐標是( kπ, 0 )，這明顯是錯的。

　　四、函數對稱性應用舉例

　　例1：定義在R上的非常數函數滿足：f (10+x)為偶函數，且f (5－x) = f (5+x),則f (x)一定是（）（第十二屆希望杯高二第二試題）

　　(A)是偶函數，也是周期函數(B)是偶函數，但不是周期函數

　　(C)是奇函數，也是周期函數(D)是奇函數，但不是周期函數

　　解：∵f (10+x)為偶函數，∴f (10+x) = f (10－x).

　　∴f (x)有兩條對稱軸 x = 5與x =10 ，因此f (x)是以10為其一個周期的周期函數， ∴x =0即y軸也是f (x)的對稱軸，因此f (x)還是一個偶函數。

　　故選(A)

　　例2：設定義域為R的函數y = f (x)、y = g(x)都有反函數，并且f(x－1)和g-1(x－2)函數的圖像關于直線y = x對稱，若g(5) = 1999，那么f(4)=（）。

　　（A）1999；（B）2000；（C）2001；（D）2002。

　　解：∵y = f(x－1)和y = g-1(x－2)函數的圖像關于直線y = x對稱，

　　∴y = g-1(x－2) 反函數是y = f(x－1)，而y = g-1(x－2)的反函數是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=2001

　　故f(4) = 2001,應選（C）

　　例3.設f(x)是定義在R上的偶函數，且f(1+x)= f(1－x),當－1≤x≤0時，

　　f (x) = － x，則f (8.6 ) = _________ （第八屆希望杯高二第一試題）

　　解：∵f(x)是定義在R上的偶函數∴x = 0是y = f(x)對稱軸；

　　又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 對稱軸。故y = f(x)是以2為周期的周期函數，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3

　　例4.函數 y = sin (2x + )的圖像的一條對稱軸的方程是（）(92全國高考理) (A) x = － (B) x = － (C) x = (D) x =

　　解：函數 y = sin (2x + )的圖像的所有對稱軸的方程是2x + = k +

　　∴x = － ,顯然取k = 1時的對稱軸方程是x = －故選(A)

　　例5. 設f(x)是定義在R上的奇函數，且f(x+2)= －f(x),當0≤x≤1時，

　　f (x) = x，則f (7.5 ) = （）

　　(A) 0.5(B)－0.5(C) 1.5(D) －1.5

　　解：∵y = f (x)是定義在R上的奇函數，∴點（0，0）是其對稱中心；

　　又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直線x = 1是y = f (x) 對稱軸，故y = f (x)是周期為2的周期函數。

　　∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故選(B)

　　銳角三角函數公式

　　sin =的對邊 / 斜邊

　　cos =的鄰邊 / 斜邊

　　tan =的對邊 / 的鄰邊

　　cot =的鄰邊 / 的對邊

　　倍角公式

　　Sin2A=2SinA?CosA

　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1

　　tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)

　　(注：SinA^2 是sinA的平方 sin2(A))

　　三倍角公式

　　sin3=4sinsin(/3+)sin(/3-)

　　cos3=4coscos(/3+)cos(/3-)

　　tan3a = tan a tan(/3+a) tan(/3-a)

　　三倍角公式推導

　　sin3a

　　=sin(2a+a)

　　=sin2acosa+cos2asina

　　輔助角公式

　　Asin+Bcos=(A^2+B^2)^(1/2)sin(+t)，其中

　　sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

　　cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

　　tant=B/A

　　Asin+Bcos=(A^2+B^2)^(1/2)cos(-t)，tant=A/B

　　降冪公式

　　sin^2()=(1-cos(2))/2=versin(2)/2

　　cos^2()=(1+cos(2))/2=covers(2)/2

　　tan^2()=(1-cos(2))/(1+cos(2))

　　推導公式

　　tan+cot=2/sin2

　　tan-cot=-2cot2

　　1+cos2=2cos^2

　　1-cos2=2sin^2

　　1+sin=(sin/2+cos/2)^2

　　半角公式

　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);

　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.

　　sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2

　　cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2

　　tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

　　兩角和差

　　cos(+)=coscos-sinsin

　　cos(-)=coscos+sinsin

　　sin()=sincoscossin

　　tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)

　　tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)

　　和差化積

　　sin+sin = 2 sin[(+)/2] cos[(-)/2]

　　sin-sin = 2 cos[(+)/2] sin[(-)/2]

　　cos+cos = 2 cos[(+)/2] cos[(-)/2]

　　cos-cos = -2 sin[(+)/2] sin[(-)/2]

　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

　　積化和差

　　sinsin = [cos(-)-cos(+)] /2

　　coscos = [cos(+)+cos(-)]/2

　　sincos = [sin(+)+sin(-)]/2

　　cossin = [sin(+)-sin(-)]/2

　　誘導公式

　　sin(-) = -sin

　　cos(-) = cos

　　tan (a)=-tan

　　sin(/2-) = cos

　　cos(/2-) = sin

　　sin(/2+) = cos

　　cos(/2+) = -sin

　　sin() = sin

　　cos() = -cos

　　sin() = -sin

　　cos() = -cos

　　tanA= sinA/cosA

　　tan(/2+)=-cot

　　tan(/2-)=cot

　　tan()=-tan

　　tan()=tan

　　誘導公式記背訣竅：奇變偶不變，符號看象限

　　一、定義與定義式：

　　自變量x和因變量y有如下關系：

　　y=kx+b

　　則此時稱y是x的一次函數。

　　特別地，當b=0時，y是x的正比例函數。

　　即：y=kx（k為常數，k≠0）

　　二、一次函數的性質：

　　1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k

　　即：y=kx+b（k為任意不為零的實數b取任何實數）

　　2.當x=0時，b為函數在y軸上的截距。

　　三、一次函數的圖像及性質：

　　1．作法與圖形：通過如下3個步驟

　�。�1）列表；

　�。�2）描點；

　�。�3）連線，可以作出一次函數的圖像——一條直線。因此，作一次函數的圖像只需知道2點，并連成直線即可。（通常找函數圖像與x軸和y軸的交點）

　　2．性質：（1）在一次函數上的任意一點P（x,y），都滿足等式：y=kx+b.（2）一次函數與y軸交點的坐標總是（0，b），與x軸總是交于（-b/k,0）正比例函數的圖像總是過原點。

　　3．k,b與函數圖像所在象限：

　　當k＞0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大；

　　當k＜0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。

　　當b＞0時，直線必通過一、二象限；

　　當b=0時，直線通過原點

　　當b＜0時，直線必通過三、四象限。

　　特別地，當b=O時，直線通過原點O（0，0）表示的是正比例函數的圖像。

　　這時，當k＞0時，直線只通過一、三象限；當k＜0時，直線只通過二、四象限

　　四、確定一次函數的表達式：

　　已知點A（x1，y1）；B（x2，y2），請確定過點A、B的一次函數的表達式。

　　（1）設一次函數的表達式（也叫解析式）為y=kx+b.

　　（2）因為在一次函數上的任意一點P（x,y），都滿足等式y=kx+b.所以可以列出2個方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②

　�。�3）解這個二元一次方程，得到k,b的值。

　　（4）最后得到一次函數的表達式。

　　五、一次函數在生活中的應用：

　　1.當時間t一定，距離s是速度v的一次函數。s=vt.

　　2.當水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數。設水池中原有水量S.g=S-ft.

　　六、常用公式：（不全，希望有人補充）

　　1.求函數圖像的k值：（y1-y2）/（x1-x2）

　　2.求與x軸平行線段的中點：|x1-x2|/2

　　3.求與y軸平行線段的中點：|y1-y2|/2

　　4.求任意線段的長：√（x1-x2）^2+（y1-y2）^2（注：根號下（x1-x2）與（y1-y2）的平方和）

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