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高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)

時間:2025-01-15 11:15:01 曉鳳 總結(jié)范文 我要投稿

高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)(通用20篇)

  總結(jié)是指社會團(tuán)體、企業(yè)單位和個人對某一階段的學(xué)習(xí)、工作或其完成情況加以回顧和分析,得出教訓(xùn)和一些規(guī)律性認(rèn)識的一種書面材料,它有助于我們尋找工作和事物發(fā)展的規(guī)律,從而掌握并運用這些規(guī)律,為此我們要做好回顧,寫好總結(jié)。你想知道總結(jié)怎么寫嗎?下面是小編幫大家整理的高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié),僅供參考,希望能夠幫助到大家。

高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)(通用20篇)

  高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié) 1

  集合間的基本關(guān)系

  1。“包含”關(guān)系—子集

  注意:有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一集合。

  反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA

  2。“相等”關(guān)系:A=B(5≥5,且5≤5,則5=5)

  實例:設(shè)A={x|x2—1=0}B={—1,1}“元素相同則兩集合相等”

  即:①任何一個集合是它本身的子集。AA

  ②真子集:如果AB,且AB那就說集合A是集合B的真子集,記作AB(或BA)

  ③如果AB,BC,那么AC

  ④如果AB同時BA那么A=B

  3。不含任何元素的集合叫做空集,記為Φ

  規(guī)定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。

  有n個元素的集合,含有2n個子集,2n—1個真子集

  集合的運算

  運算類型交集并集補集

  定義由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集。記作AB(讀作‘A交B’),即AB={x|xA,且xB}。

  由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合,叫做A,B的.并集。記作:AB(讀作‘A并B’),即AB={x|xA,或xB})。

  設(shè)S是一個集合,A是S的一個子集,由S中所有不屬于A的元素組成的集合,叫做S中子集A的補集(或余集)

  高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié) 2

  1.函數(shù)的概念:設(shè)A、B是非空的數(shù)集,如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù).記作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.

  注意:2如果只給出解析式y(tǒng)=f(x),而沒有指明它的定義域,則函數(shù)的.定義域即是指能使這個式子有意義的實數(shù)的集合;3函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式.

  定義域補充

  能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域,求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是:(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零;(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零;(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的那么,它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數(shù)為零底不可以等于零(6)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.

  構(gòu)成函數(shù)的三要素:定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域

  再注意:(1)構(gòu)成函數(shù)三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的,所以,如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致,即稱這兩個函數(shù)相等(或為同一函數(shù))(2)兩個函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致,而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。相同函數(shù)的判斷方法:①表達(dá)式相同;②定義域一致(兩點必須同時具備)

  值域補充

  (1)、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則,不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域.(2).應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域,它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ)。

  3.函數(shù)圖象知識歸納

  (1)定義:在平面直角坐標(biāo)系中,以函數(shù)y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標(biāo),函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點P(x,y)的集合C,叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象.

  C上每一點的坐標(biāo)(x,y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x),反過來,以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標(biāo)的點(x,y),均在C上.即記為C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}

  圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成。

  (2)畫法

  A、描點法:根據(jù)函數(shù)解析式和定義域,求出x,y的一些對應(yīng)值并列表,以(x,y)為坐標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點P(x,y),最后用平滑的曲線將這些點連接起來.

  B、圖象變換法(請參考必修4三角函數(shù))

  常用變換方法有三種,即平移變換、伸縮變換和對稱變換

  (3)作用:

  1、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì);2、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。

  高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié) 3

  知識點總結(jié)

  本節(jié)知識包括函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的周期性、函數(shù)的最值、函數(shù)的對稱性和函數(shù)的圖象等知識點。函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的周期性、函數(shù)的最值、函數(shù)的對稱性是學(xué)習(xí)函數(shù)的圖象的基礎(chǔ),函數(shù)的圖象是它們的綜合。所以理解了前面的幾個知識點,函數(shù)的圖象就迎刃而解了。

  一、函數(shù)的單調(diào)性

  1、函數(shù)單調(diào)性的定義

  2、函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明:(1)定義法 (2)復(fù)合函數(shù)分析法 (3)導(dǎo)數(shù)證明法 (4)圖象法

  二、函數(shù)的.奇偶性和周期性

  1、函數(shù)的奇偶性和周期性的定義

  2、函數(shù)的奇偶性的判定和證明方法

  3、函數(shù)的周期性的判定方法

  三、函數(shù)的圖象

  1、函數(shù)圖象的作法 (1)描點法 (2)圖象變換法

  2、圖象變換包括圖象:平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換。

  常見考法

  本節(jié)是段考和高考必不可少的考查內(nèi)容,是段考和高考考查的重點和難點。選擇題、填空題和解答題都有,并且題目難度較大。在解答題中,它可以和高中數(shù)學(xué)的每一章聯(lián)合考查,多屬于拔高題。多考查函數(shù)的單調(diào)性、最值和圖象等。

  誤區(qū)提醒

  1、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,必須先求函數(shù)的定義域,即遵循“函數(shù)問題定義域優(yōu)先的原則”。

  2、單調(diào)區(qū)間必須用區(qū)間來表示,不能用集合或不等式,單調(diào)區(qū)間一般寫成開區(qū)間,不必考慮端點問題。

  3、在多個單調(diào)區(qū)間之間不能用“或”和“ ”連接,只能用逗號隔開。

  4、判斷函數(shù)的奇偶性,首先必須考慮函數(shù)的定義域,如果函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱,則函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù)。

  5、作函數(shù)的圖象,一般是首先化簡解析式,然后確定用描點法或圖象變換法作函數(shù)的圖象。

  高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié) 4

  冪函數(shù)的性質(zhì):

  對于a的取值為非零有理數(shù),有必要分成幾種情況來討論各自的特性:

  首先我們知道如果a=p/q,q和p都是整數(shù),則x^(p/q)=q次根號(x的p次方),如果q是奇數(shù),函數(shù)的定義域是R,如果q是偶數(shù),函數(shù)的定義域是[0,+∞)。當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時,設(shè)a=—k,則x=1/(x^k),顯然x≠0,函數(shù)的定義域是(—∞,0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制來源于兩點,一是有可能作為分母而不能是0,一是有可能在偶數(shù)次的根號下而不能為負(fù)數(shù),那么我們就可以知道:

  排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能,即對于x>0,則a可以是任意實數(shù);

  排除了為0這種可能,即對于x<0x="">0的所有實數(shù),q不能是偶數(shù);

  排除了為負(fù)數(shù)這種可能,即對于x為大于且等于0的所有實數(shù),a就不能是負(fù)數(shù)。

  總結(jié)起來,就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時,冪函數(shù)的定義域的不同情況如下:如果a為任意實數(shù),則函數(shù)的`定義域為大于0的所有實數(shù);

  如果a為負(fù)數(shù),則x肯定不能為0,不過這時函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來確定,即如果同時q為偶數(shù),則x不能小于0,這時函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);如果同時q為奇數(shù),則函數(shù)的定義域為不等于0的所有實數(shù)。

  在x大于0時,函數(shù)的值域總是大于0的實數(shù)。

  在x小于0時,則只有同時q為奇數(shù),函數(shù)的值域為非零的實數(shù)。

  而只有a為正數(shù),0才進(jìn)入函數(shù)的值域。

  由于x大于0是對a的任意取值都有意義的,因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況。

  可以看到:

  (1)所有的圖形都通過(1,1)這點。

  (2)當(dāng)a大于0時,冪函數(shù)為單調(diào)遞增的,而a小于0時,冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。

  (3)當(dāng)a大于1時,冪函數(shù)圖形下凹;當(dāng)a小于1大于0時,冪函數(shù)圖形上凸。

  (4)當(dāng)a小于0時,a越小,圖形傾斜程度越大。

  (5)a大于0,函數(shù)過(0,0);a小于0,函數(shù)不過(0,0)點。

  (6)顯然冪函數(shù)無界。

  解題方法:換元法

  解數(shù)學(xué)題時,把某個式子看成一個整體,用一個變量去代替它,從而使問題得到簡化,這種方法叫換元法。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元,理論依據(jù)是等量代換,目的是變換研究對象,將問題移至新對象的知識背景中去研究,從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化,變得容易處理。

  換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的變量,可以把分散的條件聯(lián)系起來,隱含的條件顯露出來,或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來。或者變?yōu)槭煜さ男问剑褟?fù)雜的計算和推證簡化。

  它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式,在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。

  高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié) 5

  1.二次函數(shù)y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的圖象形狀相同,只是位置不同,它們的頂點坐標(biāo)及對稱軸如下表:

  解析式

  頂點坐標(biāo)

  對稱軸

  y=ax^2

  (0,0)

  x=0

  y=a(x-h)^2

  (h,0)

  x=h

  y=a(x-h)^2+k

  (h,k)

  x=h

  y=ax^2+bx+c

  (-b/2a,[4ac-b^2]/4a)

  x=-b/2a

  當(dāng)h>0時,y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到,

  當(dāng)h<0時,則向左平行移動|h|個單位得到.

  當(dāng)h>0,k>0時,將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位,再向上移動k個單位,就可以得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;

  當(dāng)h>0,k<0時,將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位,再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;

  當(dāng)h<0,k>0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;

  當(dāng)h<0,k<0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;

  因此,研究拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象,通過配方,將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式,可確定其頂點坐標(biāo)、對稱軸,拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.

  2.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象:當(dāng)a>0時,開口向上,當(dāng)a<0時開口向下,對稱軸是直線x=-b/2a,頂點坐標(biāo)是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).

  3.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,當(dāng)x≤-b/2a時,y隨x的.增大而減小;當(dāng)x≥-b/2a時,y隨x的增大而增大.若a<0,當(dāng)x≤-b/2a時,y隨x的增大而增大;當(dāng)x≥-b/2a時,y隨x的增大而減小.

  4.拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點:

  (1)圖象與y軸一定相交,交點坐標(biāo)為(0,c);

  (2)當(dāng)△=b^2-4ac>0,圖象與x軸交于兩點A(x?,0)和B(x?,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

  (a≠0)的兩根.這兩點間的距離AB=|x?-x?|

  當(dāng)△=0.圖象與x軸只有一個交點;

  當(dāng)△<0.圖象與x軸沒有交點.當(dāng)a>0時,圖象落在x軸的上方,x為任何實數(shù)時,都有y>0;當(dāng)a<0時,圖象落在x軸的下方,x為任何實數(shù)時,都有y<0.

  5.拋物線y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),則當(dāng)x=-b/2a時,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.

  頂點的橫坐標(biāo),是取得最值時的自變量值,頂點的縱坐標(biāo),是最值的取值.

  6.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

  (1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過三個已知點或已知x、y的三對對應(yīng)值時,可設(shè)解析式為一般形式:

  y=ax^2+bx+c(a≠0).

  (2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸時,可設(shè)解析式為頂點式:y=a(x-h)^2+k(a≠0).

  (3)當(dāng)題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標(biāo)時,可設(shè)解析式為兩根式:y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).

  7.二次函數(shù)知識很容易與其它知識綜合應(yīng)用,而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此,以二次函數(shù)知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題,往往以大題形式出現(xiàn).

  高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié) 6

  圓的方程定義:

  圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x—a)2+(y—b)2=r2中,有三個參數(shù)a、b、r,即圓心坐標(biāo)為(a,b),只要求出a、b、r,這時圓的方程就被確定,因此確定圓方程,須三個獨立條件,其中圓心坐標(biāo)是圓的定位條件,半徑是圓的定形條件。

  直線和圓的位置關(guān)系:

  1、直線和圓位置關(guān)系的判定方法一是方程的觀點,即把圓的方程和直線的方程聯(lián)立成方程組,利用判別式Δ來討論位置關(guān)系。

  ①Δ>0,直線和圓相交。②Δ=0,直線和圓相切。③Δ<0,直線和圓相離。

  方法二是幾何的觀點,即把圓心到直線的距離d和半徑R的大小加以比較。

  ①dR,直線和圓相離。

  2、直線和圓相切,這類問題主要是求圓的切線方程。求圓的.切線方程主要可分為已知斜率k或已知直線上一點兩種情況,而已知直線上一點又可分為已知圓上一點和圓外一點兩種情況。

  3、直線和圓相交,這類問題主要是求弦長以及弦的中點問題。

  切線的性質(zhì)

  ⑴圓心到切線的距離等于圓的半徑;

  ⑵過切點的半徑垂直于切線;

  ⑶經(jīng)過圓心,與切線垂直的直線必經(jīng)過切點;

  ⑷經(jīng)過切點,與切線垂直的直線必經(jīng)過圓心;

  當(dāng)一條直線滿足

  (1)過圓心;

  (2)過切點;

  (3)垂直于切線三個性質(zhì)中的兩個時,第三個性質(zhì)也滿足。

  切線的判定定理

  經(jīng)過半徑的外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

  切線長定理

  從圓外一點作圓的兩條切線,兩切線長相等,圓心與這一點的連線平分兩條切線的夾角。

  高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié) 7

  元素與集合的關(guān)系有“屬于”與“不屬于”兩種。

  集合與集合之間的關(guān)系

  某些指定的.對象集在一起就成為一個集合集合符號,含有有限個元素叫有限集,含有無限個元素叫無限集,空集是不含任何元素的集,記做Φ。空集是任何集合的子集,是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集,真子集都具有傳遞性。說明一下:如果集合A的所有元素同時都是集合B的元素,則A稱作是B的子集,寫作AB。若A是B的子集,且A不等于B,則A稱作是B的真子集,一般寫作AB。中學(xué)教材課本里將符號下加了一個≠符號,不要混淆,考試時還是要以課本為準(zhǔn)。所有男人的集合是所有人的集合的真子集。

  高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié) 8

  一、集合有關(guān)概念

  1.集合的含義

  2.集合的中元素的三個特性:

  (1)元素的確定性如:世界上的山

  (2)元素的互異性如:由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}

  (3)元素的無序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合

  3.集合的表示:{…}如:{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

  (1)用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

  (2)集合的表示方法:列舉法與描述法。

  注意:常用數(shù)集及其記法:

  非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作:N

  正整數(shù)集:N_或N+

  整數(shù)集:Z

  有理數(shù)集:Q

  實數(shù)集:R

  1)列舉法:{a,b,c……}

  2)描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內(nèi)表示集合{xR|x-3>2},{x|x-3>2}

  3)語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

  4)Venn圖:

  4、集合的分類:

  (1)有限集含有有限個元素的集合

  (2)無限集含有無限個元素的集合

  (3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}

  二、集合間的基本關(guān)系

  1.“包含”關(guān)系—子集

  注意:有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一集合。

  反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA

  2.“相等”關(guān)系:A=B(5≥5,且5≤5,則5=5)

  實例:設(shè)A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”

  即:①任何一個集合是它本身的子集。AíA

  ②真子集:如果AíB,且A1B那就說集合A是集合B的真子集,記作AB(或BA)

  ③如果AíB,BíC,那么AíC

  ④如果AíB同時BíA那么A=B

  3.不含任何元素的集合叫做空集,記為Φ

  規(guī)定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。

  4.子集個數(shù):

  有n個元素的集合,含有2n個子集,2n-1個真子集,含有2n-1個非空子集,含有2n-1個非空真子集

  三、集合的運算

  運算類型交集并集補集

  定義由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.記作AB(讀作‘A交B’),即AB={x|xA,且xB}.

  由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合,叫做A,B的并集.記作:AB(讀作‘A并B’),即AB={x|xA,或xB}).

  【基本初等函數(shù)】

  一、指數(shù)函數(shù)

  (一)指數(shù)與指數(shù)冪的運算

  1.根式的概念:一般地,如果,那么叫做的次方根(nthroot),其中>1,且∈_.

  當(dāng)是奇數(shù)時,正數(shù)的次方根是一個正數(shù),負(fù)數(shù)的次方根是一個負(fù)數(shù).此時,的次方根用符號表示.式子叫做根式(radical),這里叫做根指數(shù)(radicalexponent),叫做被開方數(shù)(radicand).

  當(dāng)是偶數(shù)時,正數(shù)的次方根有兩個,這兩個數(shù)互為相反數(shù).此時,正數(shù)的正的次方根用符號表示,負(fù)的次方根用符號-表示.正的次方根與負(fù)的次方根可以合并成±(>0).由此可得:負(fù)數(shù)沒有偶次方根;0的任何次方根都是0,記作。

  注意:當(dāng)是奇數(shù)時,當(dāng)是偶數(shù)時,

  2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

  正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義,規(guī)定:

  0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義

  指出:規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后,指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù),那么整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪.

  3.實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)

  (二)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

  1、指數(shù)函數(shù)的概念:一般地,函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)(exponential),其中x是自變量,函數(shù)的定義域為R.

  注意:指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍,底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1.

  2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

  【函數(shù)的應(yīng)用】

  1、函數(shù)零點的`概念:對于函數(shù),把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。

  2、函數(shù)零點的意義:函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根,亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)。即:

  方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點.

  3、函數(shù)零點的求法:

  求函數(shù)的零點:

  1(代數(shù)法)求方程的實數(shù)根;

  2(幾何法)對于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來,并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點.

  4、二次函數(shù)的零點:

  二次函數(shù).

  1)△>0,方程有兩不等實根,二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點,二次函數(shù)有兩個零點.

  2)△=0,方程有兩相等實根(二重根),二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點,二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點.

  3)△<0,方程無實根,二次函數(shù)的圖象與軸無交點,二次函數(shù)無零點.

  高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié) 9

  【立體幾何初步】

  1、柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征

  (1)棱柱:

  定義:有兩個面互相平行,其余各面都是四邊形,且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的幾何體。

  分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

  表示:用各頂點字母,如五棱柱或用對角線的端點字母,如五棱柱。

  幾何特征:兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形;側(cè)面、對角面都是平行四邊形;側(cè)棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。

  (2)棱錐

  定義:有一個面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點的三角形,由這些面所圍成的幾何體。

  分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

  表示:用各頂點字母,如五棱錐

  幾何特征:側(cè)面、對角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似,其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方。

  (3)棱臺:

  定義:用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐,截面和底面之間的部分。

  分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等

  表示:用各頂點字母,如五棱臺

  幾何特征:①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點

  (4)圓柱:

  定義:以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的`曲面所圍成的幾何體。

  幾何特征:①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側(cè)面展開圖是一個矩形。

  (5)圓錐:

  定義:以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體。

  幾何特征:①底面是一個圓;②母線交于圓錐的頂點;③側(cè)面展開圖是一個扇形。

  (6)圓臺:

  定義:用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐,截面和底面之間的部分

  幾何特征:①上下底面是兩個圓;②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點;③側(cè)面展開圖是一個弓形。

  (7)球體:

  定義:以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體

  幾何特征:①球的截面是圓;②球面上任意一點到球心的距離等于半徑。

  2、空間幾何體的三視圖

  定義三視圖:正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影);側(cè)視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下)

  注:正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和長度;

  俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的長度和寬度;

  側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和寬度。

  3、空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法

  斜二測畫法特點:

  ①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變;

  ②原來與y軸平行的線段仍然與y平行,長度為原來的一半。

  高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié) 10

  一:函數(shù)及其表示

  知識點詳解文檔包含函數(shù)的概念、映射、函數(shù)關(guān)系的判斷原則、函數(shù)區(qū)間、函數(shù)的三要素、函數(shù)的定義域、求具體或抽象數(shù)值的函數(shù)值、求函數(shù)值域、函數(shù)的表示方法等

  1. 函數(shù)與映射的區(qū)別:

  2. 求函數(shù)定義域

  常見的用解析式表示的函數(shù)f(x)的定義域可以歸納如下:

  ①當(dāng)f(x)為整式時,函數(shù)的定義域為R.

  ②當(dāng)f(x)為分式時,函數(shù)的定義域為使分式分母不為零的實數(shù)集合。

  ③當(dāng)f(x)為偶次根式時,函數(shù)的定義域是使被開方數(shù)不小于0的實數(shù)集合。

  ④當(dāng)f(x)為對數(shù)式時,函數(shù)的定義域是使真數(shù)為正、底數(shù)為正且不為1的實數(shù)集合。

  ⑤如果f(x)是由幾個部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的,那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)集合,即求各部分有意義的實數(shù)集合的交集。

  ⑥復(fù)合函數(shù)的定義域是復(fù)合的各基本的函數(shù)定義域的交集。

  ⑦對于由實際問題的`背景確定的函數(shù),其定義域除上述外,還要受實際問題的制約。

  3. 求函數(shù)值域

  (1)、觀察法:通過對函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察,結(jié)合函數(shù)的解析式,求得函數(shù)的值域;

  (2)、配方法;如果一個函數(shù)是二次函數(shù)或者經(jīng)過換元可以寫成二次函數(shù)的形式,那么將這個函數(shù)的右邊配方,通過自變量的范圍可以求出該函數(shù)的值域;

  (3)、判別式法:

  (4)、數(shù)形結(jié)合法;通過觀察函數(shù)的圖象,運用數(shù)形結(jié)合的方法得到函數(shù)的值域;

  (5)、換元法;以新變量代替函數(shù)式中的某些量,使函數(shù)轉(zhuǎn)化為以新變量為自變量的函數(shù)形式,進(jìn)而求出值域;

  (6)、利用函數(shù)的單調(diào)性;如果函數(shù)在給出的定義域區(qū)間上是嚴(yán)格單調(diào)的,那么就可以利用端點的函數(shù)值來求出值域;

  (7)、利用基本不等式:對于一些特殊的分式函數(shù)、高于二次的函數(shù)可以利用重要不等式求出函數(shù)的值域;

  (8)、最值法:對于閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數(shù)的最值,可得到函數(shù)y的值域;

  (9)、反函數(shù)法:如果函數(shù)在其定義域內(nèi)存在反函數(shù),那么求函數(shù)的值域可以轉(zhuǎn)化為求反函數(shù)的定義域。

  高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié) 11

  【(一)、映射、函數(shù)、反函數(shù)】

  1、對應(yīng)、映射、函數(shù)三個概念既有共性又有區(qū)別,映射是一種特殊的對應(yīng),而函數(shù)又是一種特殊的映射.

  2、對于函數(shù)的概念,應(yīng)注意如下幾點:

  (1)掌握構(gòu)成函數(shù)的三要素,會判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù).

  (2)掌握三種表示法——列表法、解析法、圖象法,能根實際問題尋求變量間的函數(shù)關(guān)系式,特別是會求分段函數(shù)的解析式.

  (3)如果y=f(u),u=g(x),那么y=f[g(x)]叫做f和g的復(fù)合函數(shù),其中g(shù)(x)為內(nèi)函數(shù),f(u)為外函數(shù).

  3、求函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)的一般步驟:

  (1)確定原函數(shù)的值域,也就是反函數(shù)的定義域;

  (2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);

  (3)將x,y對換,得反函數(shù)的習(xí)慣表達(dá)式y(tǒng)=f-1(x),并注明定義域.

  注意①:對于分段函數(shù)的反函數(shù),先分別求出在各段上的反函數(shù),然后再合并到一起.

  ②熟悉的應(yīng)用,求f-1(x0)的值,合理利用這個結(jié)論,可以避免求反函數(shù)的過程,從而簡化運算.

  【(二)、函數(shù)的解析式與定義域】

  1、函數(shù)及其定義域是不可分割的整體,沒有定義域的函數(shù)是不存在的,因此,要正確地寫出函數(shù)的解析式,必須是在求出變量間的對應(yīng)法則的同時,求出函數(shù)的定義域.求函數(shù)的定義域一般有三種類型:

  (1)有時一個函數(shù)來自于一個實際問題,這時自變量x有實際意義,求定義域要結(jié)合實際意義考慮;

  (2)已知一個函數(shù)的解析式求其定義域,只要使解析式有意義即可.如:

  ①分式的分母不得為零;

  ②偶次方根的被開方數(shù)不小于零;

  ③對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零;

  ④指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1;

  ⑤三角函數(shù)中的正切函數(shù)y=tanx(x∈R,且k∈Z),余切函數(shù)y=cotx(x∈R,x≠kπ,k∈Z)等.

  應(yīng)注意,一個函數(shù)的解析式由幾部分組成時,定義域為各部分有意義的自變量取值的公共部分(即交集).

  (3)已知一個函數(shù)的定義域,求另一個函數(shù)的定義域,主要考慮定義域的深刻含義即可.

  已知f(x)的定義域是[a,b],求f[g(x)]的定義域是指滿足a≤g(x)≤b的x的取值范圍,而已知f[g(x)]的定義域[a,b]指的是x∈[a,b],此時f(x)的定義域,即g(x)的值域.

  2、求函數(shù)的解析式一般有四種情況

  (1)根據(jù)某實際問題需建立一種函數(shù)關(guān)系時,必須引入合適的變量,根據(jù)數(shù)學(xué)的有關(guān)知識尋求函數(shù)的解析式.

  (2)有時題設(shè)給出函數(shù)特征,求函數(shù)的解析式,可采用待定系數(shù)法.比如函數(shù)是一次函數(shù),可設(shè)f(x)=ax+b(a≠0),其中a,b為待定系數(shù),根據(jù)題設(shè)條件,列出方程組,求出a,b即可.

  (3)若題設(shè)給出復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的表達(dá)式時,可用換元法求函數(shù)f(x)的表達(dá)式,這時必須求出g(x)的值域,這相當(dāng)于求函數(shù)的定義域.

  (4)若已知f(x)滿足某個等式,這個等式除f(x)是未知量外,還出現(xiàn)其他未知量(如f(-x),等),必須根據(jù)已知等式,再構(gòu)造其他等式組成方程組,利用解方程組法求出f(x)的表達(dá)式.

  【(三)、函數(shù)的值域與最值】

  1、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則,不論采用何種方法求函數(shù)值域都應(yīng)先考慮其定義域,求函數(shù)值域常用方法如下:

  (1)直接法:亦稱觀察法,對于結(jié)構(gòu)較為簡單的函數(shù),可由函數(shù)的解析式應(yīng)用不等式的性質(zhì),直接觀察得出函數(shù)的值域.

  (2)換元法:運用代數(shù)式或三角換元將所給的復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化成另一種簡單函數(shù)再求值域,若函數(shù)解析式中含有根式,當(dāng)根式里一次式時用代數(shù)換元,當(dāng)根式里是二次式時,用三角換元.

  (3)反函數(shù)法:利用函數(shù)f(x)與其反函數(shù)f-1(x)的定義域和值域間的關(guān)系,通過求反函數(shù)的定義域而得到原函數(shù)的值域,形如(a≠0)的函數(shù)值域可采用此法求得.

  (4)配方法:對于二次函數(shù)或二次函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域問題可考慮用配方法.

  (5)不等式法求值域:利用基本不等式a+b≥[a,b∈(0,+∞)]可以求某些函數(shù)的值域,不過應(yīng)注意條件“一正二定三相等”有時需用到平方等技巧.

  (6)判別式法:把y=f(x)變形為關(guān)于x的一元二次方程,利用“△≥0”求值域.其題型特征是解析式中含有根式或分式.

  (7)利用函數(shù)的單調(diào)性求值域:當(dāng)能確定函數(shù)在其定義域上(或某個定義域的子集上)的單調(diào)性,可采用單調(diào)性法求出函數(shù)的值域.

  (8)數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的值域:利用函數(shù)所表示的幾何意義,借助于幾何方法或圖象,求出函數(shù)的值域,即以數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的值域.

  2、求函數(shù)的最值與值域的區(qū)別和聯(lián)系

  求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的,事實上,如果在函數(shù)的值域中存在一個最小(大)數(shù),這個數(shù)就是函數(shù)的.最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域,其實質(zhì)是相同的,只是提問的角度不同,因而答題的方式就有所相異.

  如函數(shù)的值域是(0,16],值是16,無最小值.再如函數(shù)的值域是(-∞,-2]∪[2,+∞),但此函數(shù)無值和最小值,只有在改變函數(shù)定義域后,如x>0時,函數(shù)的最小值為2.可見定義域?qū)瘮?shù)的值域或最值的影響.

  3、函數(shù)的最值在實際問題中的應(yīng)用

  函數(shù)的最值的應(yīng)用主要體現(xiàn)在用函數(shù)知識求解實際問題上,從文字表述上常常表現(xiàn)為“工程造價最低”,“利潤”或“面積(體積)(最小)”等諸多現(xiàn)實問題上,求解時要特別關(guān)注實際意義對自變量的制約,以便能正確求得最值.

  【(四)、函數(shù)的奇偶性】

  1、函數(shù)的奇偶性的定義:對于函數(shù)f(x),如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)(或偶函數(shù)).

  正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義,要注意兩點:(1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恒等式.(奇偶性是函數(shù)定義域上的整體性質(zhì)).

  2、奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)。為了便于判斷函數(shù)的奇偶性,有時需要將函數(shù)化簡或應(yīng)用定義的等價形式:

  注意如下結(jié)論的運用:

  (1)不論f(x)是奇函數(shù)還是偶函數(shù),f(|x|)總是偶函數(shù);

  (2)f(x)、g(x)分別是定義域D1、D2上的奇函數(shù),那么在D1∩D2上,f(x)+g(x)是奇函數(shù),f(x)·g(x)是偶函數(shù),類似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”,“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”;

  (3)奇偶函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的奇偶性通常是偶函數(shù);

  (4)奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù),偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。

  3、有關(guān)奇偶性的幾個性質(zhì)及結(jié)論

  (1)一個函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點對稱;一個函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱.

  (2)如要函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱且函數(shù)值恒為零,那么它既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

  (3)若奇函數(shù)f(x)在x=0處有意義,則f(0)=0成立.

  (4)若f(x)是具有奇偶性的區(qū)間單調(diào)函數(shù),則奇(偶)函數(shù)在正負(fù)對稱區(qū)間上的單調(diào)性是相同(反)的。

  (5)若f(x)的定義域關(guān)于原點對稱,則F(x)=f(x)+f(-x)是偶函數(shù),G(x)=f(x)-f(-x)是奇函數(shù).

  (6)奇偶性的推廣

  函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)的任一x都有f(a+x)=f(a-x),則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱,即y=f(a+x)為偶函數(shù).函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)的任-x都有f(a+x)=-f(a-x),則y=f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)成中心對稱圖形,即y=f(a+x)為奇函數(shù)。

  【(五)、函數(shù)的單調(diào)性】

  1、單調(diào)函數(shù)

  對于函數(shù)f(x)定義在某區(qū)間[a,b]上任意兩點x1,x2,當(dāng)x1>x2時,都有不等式f(x1)>(或<)f(x2)成立,稱f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增(或遞減);增函數(shù)或減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).

  對于函數(shù)單調(diào)性的定義的理解,要注意以下三點:

  (1)單調(diào)性是與“區(qū)間”緊密相關(guān)的概念.一個函數(shù)在不同的區(qū)間上可以有不同的單調(diào)性.

  (2)單調(diào)性是函數(shù)在某一區(qū)間上的“整體”性質(zhì),因此定義中的x1,x2具有任意性,不能用特殊值代替.

  (3)單調(diào)區(qū)間是定義域的子集,討論單調(diào)性必須在定義域范圍內(nèi).

  (4)注意定義的兩種等價形式:

  設(shè)x1、x2∈[a,b],那么:

  ①在[a、b]上是增函數(shù);

  在[a、b]上是減函數(shù).

  ②在[a、b]上是增函數(shù).

  在[a、b]上是減函數(shù).

  需要指出的是:①的幾何意義是:增(減)函數(shù)圖象上任意兩點(x1,f(x1))、(x2,f(x2))連線的斜率都大于(或小于)零.

  (5)由于定義都是充要性命題,因此由f(x)是增(減)函數(shù),且(或x1>x2),這說明單調(diào)性使得自變量間的不等關(guān)系和函數(shù)值之間的不等關(guān)系可以“正逆互推”.

  5、復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性

  若u=g(x)在區(qū)間[a,b]上的單調(diào)性,與y=f(u)在[g(a),g(b)](或g(b),g(a))上的單調(diào)性相同,則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在[a,b]上單調(diào)遞增;否則,單調(diào)遞減.簡稱“同增、異減”.

  在研究函數(shù)的單調(diào)性時,常需要先將函數(shù)化簡,轉(zhuǎn)化為討論一些熟知函數(shù)的單調(diào)性。因此,掌握并熟記一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,將大大縮短我們的判斷過程.

  6、證明函數(shù)的單調(diào)性的方法

  (1)依定義進(jìn)行證明.其步驟為:①任取x1、x2∈M且x1(或<)f(x2);③根據(jù)定義,得出結(jié)論.

  (2)設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo).

  如果f′(x)>0,則f(x)為增函數(shù);如果f′(x)<0,則f(x)為減函數(shù).

  【(六)、函數(shù)的圖象】

  函數(shù)的圖象是函數(shù)的直觀體現(xiàn),應(yīng)加強對作圖、識圖、用圖能力的培養(yǎng),培養(yǎng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題的意識.

  求作圖象的函數(shù)表達(dá)式

  與f(x)的關(guān)系

  由f(x)的圖象需經(jīng)過的變換

  y=f(x)±b(b>0)

  沿y軸向平移b個單位

  y=f(x±a)(a>0)

  沿x軸向平移a個單位

  y=-f(x)

  作關(guān)于x軸的對稱圖形

  y=f(|x|)

  右不動、左右關(guān)于y軸對稱

  y=|f(x)|

  上不動、下沿x軸翻折

  y=f-1(x)

  作關(guān)于直線y=x的對稱圖形

  y=f(ax)(a>0)

  橫坐標(biāo)縮短到原來的,縱坐標(biāo)不變

  y=af(x)

  縱坐標(biāo)伸長到原來的|a|倍,橫坐標(biāo)不變

  y=f(-x)

  作關(guān)于y軸對稱的圖形

  【例】定義在實數(shù)集上的函數(shù)f(x),對任意x,y∈R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y),且f(0)≠0.

  ①求證:f(0)=1;

  ②求證:y=f(x)是偶函數(shù);

  ③若存在常數(shù)c,使求證對任意x∈R,有f(x+c)=-f(x)成立;試問函數(shù)f(x)是不是周期函數(shù),如果是,找出它的一個周期;如果不是,請說明理由.

  思路分析:我們把沒有給出解析式的函數(shù)稱之為抽象函數(shù),解決這類問題一般采用賦值法.

  解答:①令x=y=0,則有2f(0)=2f2(0),因為f(0)≠0,所以f(0)=1.

  ②令x=0,則有f(x)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y),所以f(-y)=f(y),這說明f(x)為偶函數(shù).

  ③分別用(c>0)替換x、y,有f(x+c)+f(x)=

  所以,所以f(x+c)=-f(x).

  兩邊應(yīng)用中的結(jié)論,得f(x+2c)=-f(x+c)=-[-f(x)]=f(x),

  所以f(x)是周期函數(shù),2c就是它的一個周期.

  高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié) 12

  (1)指數(shù)函數(shù)的定義域為所有實數(shù)的集合,這里的前提是a大于0,對于a不大于0的情況,則必然使得函數(shù)的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間,因此我們不予考慮。

  (2)指數(shù)函數(shù)的值域為大于0的實數(shù)集合。

  (3)函數(shù)圖形都是下凹的。

  (4)a大于1,則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增;a小于1大于0,則為單調(diào)遞減的。

  (5)可以看到一個顯然的規(guī)律,就是當(dāng)a從0趨向于無窮大的過程中(當(dāng)然不能等于0),函數(shù)的曲線從分別接近于Y軸與X軸的正半軸的單調(diào)遞減函數(shù)的位置,趨向分別接近于Y軸的正半軸與X軸的負(fù)半軸的單調(diào)遞增函數(shù)的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。

  (6)函數(shù)總是在某一個方向上無限趨向于X軸,永不相交。

  (7)函數(shù)總是通過(0,1)這點。

  (8)顯然指數(shù)函數(shù)無界。

  奇偶性

  定義

  一般地,對于函數(shù)f(x)

  (1)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x,都有f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。

  (2)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。

  (3)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x,f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)同時成立,那么函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),稱為既奇又偶函數(shù)。

  (4)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x,f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)都不能成立,那么函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù),稱為非奇非偶函數(shù)。

  對于a的取值為非零有理數(shù),有必要分成幾種情況來討論各自的特性:

  首先我們知道如果a=p/q,q和p都是整數(shù),則x^(p/q)=q次根號(x的p次方),如果q是奇數(shù),函數(shù)的定義域是R,如果q是偶數(shù),函數(shù)的定義域是[0,+∞)。當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時,設(shè)a=-k,則x=1/(x^k),顯然x≠0,函數(shù)的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制來源于兩點,一是有可能作為分母而不能是0,一是有可能在偶數(shù)次的根號下而不能為負(fù)數(shù),那么我們就可以知道:

  排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能,即對于x>0,則a可以是任意實數(shù);

  排除了為0這種可能,即對于x<0和x>0的所有實數(shù),q不能是偶數(shù);

  排除了為負(fù)數(shù)這種可能,即對于x為大于且等于0的所有實數(shù),a就不能是負(fù)數(shù)。

  總結(jié)起來,就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時,冪函數(shù)的定義域的不同情況如下:如果a為任意實數(shù),則函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);

  如果a為負(fù)數(shù),則x肯定不能為0,不過這時函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來確定,即如果同時q為偶數(shù),則x不能小于0,這時函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);如果同時q為奇數(shù),則函數(shù)的定義域為不等于0的所有實數(shù)。

  在x大于0時,函數(shù)的值域總是大于0的實數(shù)。

  在x小于0時,則只有同時q為奇數(shù),函數(shù)的值域為非零的'實數(shù)。

  而只有a為正數(shù),0才進(jìn)入函數(shù)的值域。

  由于x大于0是對a的任意取值都有意義的,因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況.

  可以看到:

  (1)所有的圖形都通過(1,1)這點。

  (2)當(dāng)a大于0時,冪函數(shù)為單調(diào)遞增的,而a小于0時,冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。

  (3)當(dāng)a大于1時,冪函數(shù)圖形下凹;當(dāng)a小于1大于0時,冪函數(shù)圖形上凸。

  (4)當(dāng)a小于0時,a越小,圖形傾斜程度越大。

  (5)a大于0,函數(shù)過(0,0);a小于0,函數(shù)不過(0,0)點。

  (6)顯然冪函數(shù)無界。

  定義:

  x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地,當(dāng)直線與x軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0度。

  范圍:

  傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°。

  理解:

  (1)注意“兩個方向”:直線向上的方向、x軸的正方向;

  (2)規(guī)定當(dāng)直線和x軸平行或重合時,它的傾斜角為0度。

  意義:

  ①直線的傾斜角,體現(xiàn)了直線對x軸正向的傾斜程度;

  ②在平面直角坐標(biāo)系中,每一條直線都有一個確定的傾斜角;

  ③傾斜角相同,未必表示同一條直線。

  公式:

  k=tanα

  k>0時α∈(0°,90°)

  k<0時α∈(90°,180°)

  k=0時α=0°

  當(dāng)α=90°時k不存在

  ax+by+c=0(a≠0)傾斜角為A,

  則tanA=-a/b,

  A=arctan(-a/b)

  當(dāng)a≠0時,

  傾斜角為90度,即與X軸垂直

  高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié) 13

  一、平面解析幾何的基本思想和主要問題

  平面解析幾何是用代數(shù)的方法研究幾何問題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科,其基本思想就是用代數(shù)的方法研究幾何問題。例如,用直線的方程可以研究直線的性質(zhì),用兩條直線的方程可以研究這兩條直線的位置關(guān)系等。

  平面解析幾何研究的問題主要有兩類:一是根據(jù)已知條件,求出表示平面曲線的方程;二是通過方程,研究平面曲線的性質(zhì)。

  二、直線坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系

  直線坐標(biāo)系,也就是數(shù)軸,它有三個要素:原點、度量單位和方向。如果讓一個實數(shù)與數(shù)軸上坐標(biāo)為的點對應(yīng),那么就可以在實數(shù)集與數(shù)軸上的點集之間建立一一對應(yīng)關(guān)系。

  點與實數(shù)對應(yīng),則稱點的坐標(biāo)為,記作,如點坐標(biāo)為,則記作;點坐標(biāo)為,則記為。

  直角坐標(biāo)系是由兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸組成,兩條數(shù)軸的度量單位一般相同,但有時也可以不同,兩個數(shù)軸的交點是直角坐標(biāo)系的原點。在平面直角坐標(biāo)系中,有序?qū)崝?shù)對構(gòu)成的集合與坐標(biāo)平面內(nèi)的點集具有一一對應(yīng)關(guān)系。

  一個點的坐標(biāo)是這樣求得的,由點向軸及軸作垂線,在兩坐標(biāo)軸上形成正投影,在軸上的.正投影所對應(yīng)的值為點的橫坐標(biāo),在軸上的正投影所對應(yīng)的值為點的縱坐標(biāo)。

  在學(xué)習(xí)這兩種坐標(biāo)系時,要注意用類比的方法。例如,平面直角坐標(biāo)系是二維坐標(biāo)系,它有兩個坐標(biāo)軸,每個點的坐標(biāo)需用兩個實數(shù)(即一對有序?qū)崝?shù))來表示,而直線坐標(biāo)系是一維坐標(biāo)系,它只有一個坐標(biāo)軸,每個點的坐標(biāo)只需用一個實數(shù)來表示。

  三、向量的有關(guān)概念和公式

  如果數(shù)軸上的任意一點沿著軸的正向或負(fù)向移動到另一個點,則說點在軸上作了一次位移。位移是一個既有大小又有方向的量,通常叫做位移向量,簡稱向量,記作。如果點移動的方向與數(shù)軸的正方向相同,則向量為正,否則為負(fù)。線段的長叫做向量的長度,記作。向量的長度連同表示其方向的正負(fù)號叫做向量的坐標(biāo)(或數(shù)量),用表示。這里同學(xué)們要分清,三個符號的含義。

  對于數(shù)軸上任意三點,都有成立。該等式左邊表示在數(shù)軸上點向點作一次位移,等式右邊表示點先向點作一次位移,再由點向點作一次位移,它們的最終結(jié)果是相同的。

  向量的坐標(biāo)公式(或數(shù)量公式),它表示向量的數(shù)量等于終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo),這個公式非常重要。

  有相等坐標(biāo)的兩個向量相等,看做同一個向量;反之,兩個相等向量坐標(biāo)必相等。

  注意:①相等的所有向量看做一個整體,作為同一向量,都等于以原點為起點,坐標(biāo)與這所有向量相等的那個向量。②向量與數(shù)軸上的實數(shù)(或點)是一一對應(yīng)的,零向量即原點。

  四、兩點的距離公式和中點公式

  1。對于數(shù)軸上的兩點,設(shè)它們的坐標(biāo)分別為,則的距離為,的中點的坐標(biāo)為。

  由于表示數(shù)軸上兩點與的距離,所以在解一些簡單的含絕對值的方程或不等式時,常借助于數(shù)形結(jié)合思想,將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的距離問題加以解決。例如,解方程時,可以將問題看作在數(shù)軸上求一點,使它到,的距離之和等于。

  2。對于直角坐標(biāo)系中的兩點,設(shè)它們的坐標(biāo)分別為,則兩點的距離為,的中點的坐標(biāo)滿足。

  兩點的距離公式和中點公式是解析幾何中最基本、最常用的公式之一,要求同學(xué)們能熟練掌握并能靈活運用。

  五、坐標(biāo)法

  坐標(biāo)法是數(shù)學(xué)中一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,它是借助于坐標(biāo)系來研究幾何圖形的一種方法,是數(shù)形結(jié)合的典范。這種方法是在平面上建立直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示點,把曲線看成滿足某種條件的點的集合或軌跡,用曲線上點的坐標(biāo)所滿足的方程表示曲線,通過研究方程,間接地來研究曲線的性質(zhì)。

  高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié) 14

  函數(shù)圖象知識歸納

  (1)定義:在平面直角坐標(biāo)系中,以函數(shù)y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標(biāo),函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點P(x,y)的集合C,叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象。

  C上每一點的坐標(biāo)(x,y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x),反過來,以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標(biāo)的點(x,y),均在C上。即記為C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}

  圖象C一般的是一條光滑的`連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成。

  (2)畫法

  A、描點法:根據(jù)函數(shù)解析式和定義域,求出x,y的一些對應(yīng)值并列表,以(x,y)為坐標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點P(x,y),最后用平滑的曲線將這些點連接起來。

  B、圖象變換法(請參考必修4三角函數(shù))

  常用變換方法有三種,即平移變換、伸縮變換和對稱變換

  (3)作用:

  1、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì);2、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。

  高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié) 15

  第一章集合與函數(shù)概念

  一、集合有關(guān)概念

  1.集合的含義

  2.集合的中元素的三個特性:

  (1)元素的確定性如:世界上最高的山

  (2)元素的互異性如:由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的無序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合3.集合的表示:{}如:{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

  (1)用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法:列舉法與描述法。注意:常用數(shù)集及其記法:非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作:N

  正整數(shù)集N*或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R

  1)列舉法:{a,b,c}

  2)描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內(nèi)表示集合

  的方法。{xR|x-3>2},{x|x-3>2}

  3)語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}4)Venn圖:

  4、集合的分類:

  (1)有限集含有有限個元素的集合(2)無限集含有無限個元素的集合

  (3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}

  二、集合間的基本關(guān)系1.“包含”關(guān)系子集

  注意:AB有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一集合。

  反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA2.“相等”關(guān)系:A=B(5≥5,且5≤5,則5=5)

  實例:設(shè)A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”即:①任何一個集合是它本身的子集。AA

  ②真子集:如果AB,且AB那就說集合A是集合B的真子集,記作ABA)

  ③如果AB,BC,那么AC④如果AB同時BA那么A=B

  3.不含任何元素的集合叫做空集,記為Φ

  規(guī)定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。有n個元素的集合,含有2n個子集,2n-1個真子集三、集合的.運算運算交集并集補集類型定由所有屬于A且屬義于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.記作AB(讀由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合,叫做A,B的并集.記作:ABB(或

  設(shè)S是一個集合,A是S的一個子集,由S中所有不屬于A的元素組成的集合,叫做S中子集A的補集(或余集)

  作‘A交B’),即(讀作‘A并B’),記作CSA,即AB={x|xA,且即AB={x|xA,xB}.或xB}).CSA={x|xS,且xA}韋恩ABABS圖A示圖1圖2性AA=AAA=A(CuA)(CuB)AΦ=ΦA(chǔ)Φ=AAAA=Cu(AB=BB=BAB)ABAABA(CuA)(CuB)質(zhì)ABBABB=Cu(AB)A(CuA)=UA(CuA)=Φ.

  例題:

  1.下列四組對象,能構(gòu)成集合的是()

  A某班所有高個子的學(xué)生B著名的藝術(shù)家C一切很大的書D倒數(shù)等于它自身的實數(shù)2.集合{a,b,c}的真子集共有個

  3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0},則M與N的關(guān)系是

  4.設(shè)集合A=x1x2,B=xxa,若AB,則a的取值范圍是

  5.50名學(xué)生做的物理、化學(xué)兩種實驗,已知物理實驗做得正確得有人,化學(xué)實驗做得正確得有31人,兩種實驗都做錯得有4人,則這兩種實驗都做對的有人。

  6.用描述法表示圖中陰影部分的點(含邊界上的點)組成的集合M=.

  7.已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2-mx+m2-19=0},若B∩C≠Φ,A∩C=Φ,求m的值

  二、函數(shù)的有關(guān)概念

  1.函數(shù)的概念:設(shè)A、B是非空的數(shù)集,如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù).記作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.注意:

  1.定義域:能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是:

  (1)分式的分母不等于零;

  (2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零;

  (3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零;

  (4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.

  (5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的那么,它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數(shù)為零底不可以等于零,

  (7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.相同函數(shù)的判斷方法:①表達(dá)式相同(與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān));②定義域一致(兩點必須同時具備)(見課本21頁相關(guān)例2)

  2.值域:先考慮其定義域(1)觀察法(2)配方法

  (3)代換法

  3.函數(shù)圖象知識歸納

  (1)定義:在平面直角坐標(biāo)系中,以函數(shù)y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標(biāo),函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點P(x,y)的集合C,叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象.C上每一點的坐標(biāo)(x,y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x),反過來,以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標(biāo)的點(x,y),均在C上

  (2)畫法A、描點法:B、圖象變換法

  常用變換方法有三種

  1)平移變換

  2)伸縮變換

  3)對稱變換

  4.區(qū)間的概念

  (1)區(qū)間的分類:開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間

  (2)無窮區(qū)間

  (3)區(qū)間的數(shù)軸表示

  5.映射

  一般地,設(shè)A、B是兩個非空的集合,如果按某一個確定的對應(yīng)法則f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng),那么就稱對應(yīng)f:AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f(對應(yīng)關(guān)系):A(原象)B(象)”

  對于映射f:A→B來說,則應(yīng)滿足:

  (1)集合A中的每一個元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(2)集合A中不同的元素,在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個;(3)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。6.分段函數(shù)

  (1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。(2)各部分的自變量的取值情況.

  (3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集,值域是各段值域的并集.補充:復(fù)合函數(shù)

  如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。

  二.函數(shù)的性質(zhì)

  函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))(1)增函數(shù)

  設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1,x2,當(dāng)x1>f(x2),那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)

  減區(qū)間.

  注意:函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì);

  (2)圖象的特點

  如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的,減函數(shù)的圖象從左到右是下降的(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A)定義法:

  3利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值:○

  如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b);

  如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b);例題:

  1.求下列函數(shù)的定義域:⑴yx2x15x332⑵y1(x1x12)2.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為[0,1],則函數(shù)f(x2)的定義域為__

  3.若函數(shù)f(x1)的定義域為[2,3],則函數(shù)f(2x1)的定義域是4.函數(shù)

  x2(x1)2,若f(x)3,則xf(x)x(1x2)2x(x2)2=

  5.求下列函數(shù)的值域:

  ⑴yx22x3(xR)⑵yx2x3x[1,2]

  (3)yx12x(4)y6.已知函數(shù)

  f(x1)x4x,求函數(shù)

  2x4x52f(x),f(2x1)的解析式

  7.已知函數(shù)f(x)滿足2f(x)f(x)3x4,則f(x)=。8.設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù),且當(dāng)x[0,)時,

  f(x)x(13x),則當(dāng)x(,0)時

  f(x)=

  f(x)在R上的解析式為9.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:⑴yx22x3⑵y2x2x3⑶yx6x1

  210.判斷函數(shù)yx31的單調(diào)性并證明你的結(jié)論.

  211.設(shè)函數(shù)f(x)1x判斷它的奇偶性并且求證:f(1)f(x).

  21xx

  高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié) 16

  一、函數(shù)的概念與表示

  1、映射

  (1)映射:設(shè)A、B是兩個集合,如果按照某種映射法則f,對于集合A中的任一個元素,在集合B中都有唯一的元素和它對應(yīng),則這樣的對應(yīng)(包括集合A、B以及A到B的對應(yīng)法則f)叫做集合A到集合B的映射,記作f:A→B。

  注意點:(1)對映射定義的理解。(2)判斷一個對應(yīng)是映射的方法。一對多不是映射,多對一是映射

  2、函數(shù)

  構(gòu)成函數(shù)概念的三要素

  ①定義域②對應(yīng)法則③值域

  兩個函數(shù)是同一個函數(shù)的`條件:三要素有兩個相同

  二、函數(shù)的解析式與定義域

  1、求函數(shù)定義域的主要依據(jù):

  (1)分式的分母不為零;

  (2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零,零取零次方?jīng)]有意義;

  (3)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零;

  (4)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1;

  三、函數(shù)的值域

  1求函數(shù)值域的方法

  ①直接法:從自變量x的范圍出發(fā),推出y=f(x)的取值范圍,適合于簡單的復(fù)合函數(shù);

  ②換元法:利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域,適合根式內(nèi)外皆為一次式;

  ③判別式法:運用方程思想,依據(jù)二次方程有根,求出y的取值范圍;適合分母為二次且∈R的分式;

  ④分離常數(shù):適合分子分母皆為一次式(x有范圍限制時要畫圖);

  ⑤單調(diào)性法:利用函數(shù)的單調(diào)性求值域;

  ⑥圖象法:二次函數(shù)必畫草圖求其值域;

  ⑦利用對號函數(shù)

  ⑧幾何意義法:由數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化距離等求值域。主要是含絕對值函數(shù)

  四.函數(shù)的奇偶性

  1.定義:設(shè)y=f(x),x∈A,如果對于任意∈A,都有,則稱y=f(x)為偶函數(shù)。

  如果對于任意∈A,都有,則稱y=f(x)為奇

  函數(shù)。

  2.性質(zhì):

  ①y=f(x)是偶函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于軸對稱,y=f(x)是奇函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點對稱,

  ②若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱,則f(0)=0

  ③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[兩函數(shù)的定義域D1,D2,D1∩D2要關(guān)于原點對稱]

  3.奇偶性的判斷

  ①看定義域是否關(guān)于原點對稱②看f(x)與f(-x)的關(guān)系

  五、函數(shù)的單調(diào)性

  1、函數(shù)單調(diào)性的定義:

  2設(shè)是定義在M上的函數(shù),若f(x)與g(x)的單調(diào)性相反,則在M上是減函數(shù);若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同,則在M上是增函數(shù)。

  高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié) 17

  一、集合有關(guān)概念

  1、集合的含義:某些指定的對象集在一起就成為一個集合,其中每一個對象叫元素。

  2、集合的中元素的三個特性:

  1.元素的確定性;2.元素的互異性;3.元素的無序性

  說明:(1)對于一個給定的集合,集合中的元素是確定的,任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。

  (2)任何一個給定的集合中,任何兩個元素都是不同的對象,相同的對象歸入一個集合時,僅算一個元素。

  (3)集合中的元素是平等的,沒有先后順序,因此判定兩個集合是否一樣,僅需比較它們的'元素是否一樣,不需考查排列順序是否一樣。

  (4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。

  3、集合的表示:{…}如{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

  1.用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

  2.集合的表示方法:列舉法與描述法。

  二、集合間的基本關(guān)系

  1.“包含”關(guān)系—子集

  注意:有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一集合。

  反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA

  2.“相等”關(guān)系(5≥5,且5≤5,則5=5)

  實例:設(shè)A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”

  結(jié)論:對于兩個集合A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素,同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素,我們就說集合A等于集合B,即:A=B

  ①任何一個集合是它本身的子集。AíA

  ②真子集:如果AíB,且A1B那就說集合A是集合B的真子集,記作AB(或BA)

  ③如果AíB,BíC,那么AíC

  ④如果AíB同時BíA那么A=B

  3.不含任何元素的集合叫做空集,記為Φ

  規(guī)定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。

  三、集合的運算

  1.交集的定義:一般地,由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.

  記作A∩B(讀作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.

  2、并集的定義:一般地,由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合,叫做A,B的并集。記作:A∪B(讀作”A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.

  3、交集與并集的性質(zhì):A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A,A∪A=A,A∪φ=A,A∪B=B∪A.

  高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié) 18

  函數(shù)的概念

  函數(shù)的概念:設(shè)A、B是非空的數(shù)集,如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng),那么就稱f:A---B為從集合A到集合B的一個函數(shù).記作:y=f(x),x∈A.

  (1)其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;

  (2)與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.

  函數(shù)的三要素:定義域、值域、對應(yīng)法則

  函數(shù)的表示方法:(1)解析法:明確函數(shù)的定義域

  (2)圖想像:確定函數(shù)圖像是否連線,函數(shù)的圖像可以是連續(xù)的.曲線、直線、折線、離散的點等等。

  (3)列表法:選取的自變量要有代表性,可以反應(yīng)定義域的特征。

  4、函數(shù)圖象知識歸納

  (1)定義:在平面直角坐標(biāo)系中,以函數(shù)y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標(biāo),函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點P(x,y)的集合C,叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象.C上每一點的坐標(biāo)(x,y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x),反過來,以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標(biāo)的點(x,y),均在C上.

  (2)畫法

  A、描點法:B、圖象變換法:平移變換;伸縮變換;對稱變換,即平移。

  (3)函數(shù)圖像平移變換的特點:

  1)加左減右——————只對x

  2)上減下加——————只對y

  3)函數(shù)y=f(x)關(guān)于X軸對稱得函數(shù)y=-f(x)

  4)函數(shù)y=f(x)關(guān)于Y軸對稱得函數(shù)y=f(-x)

  5)函數(shù)y=f(x)關(guān)于原點對稱得函數(shù)y=-f(-x)

  6)函數(shù)y=f(x)將x軸下面圖像翻到x軸上面去,x軸上面圖像不動得

  函數(shù)y=|f(x)|

  7)函數(shù)y=f(x)先作x≥0的圖像,然后作關(guān)于y軸對稱的圖像得函數(shù)f(|x|)

  高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié) 19

  集合間的基本關(guān)系

  1.子集,A包含于B,記為:,有兩種可能

  (1)A是B的一部分,

  (2)A與B是同一集合,A=B,A、B兩集合中元素都相同。

  反之:集合A不包含于集合B,記作。

  如:集合A={1,2,3},B={1,2,3,4},C={1,2,3,4},三個集合的關(guān)系可以表示為,B=C。A是C的子集,同時A也是C的真子集。

  2.真子集:如果A?B,且A?B那就說集合A是集合B的真子集,記作AB(或BA)

  3、不含任何元素的集合叫做空集,記為Φ。Φ是任何集合的子集。

  4、有n個元素的集合,含有2n個子集,2n-1個真子集,含有2n-2個非空真子集。如A={1,2,3,4,5},則集合A有25=32個子集,25-1=31個真子集,25-2=30個非空真子集。

  例:集合共有個子集。(13年高考第4題,簡單)

  練習(xí):A={1,2,3},B={1,2,3,4},請問A集合有多少個子集,并寫出子集,B集合有多少個非空真子集,并將其寫出來。

  解析:

  集合A有3個元素,所以有23=8個子集。分別為:①不含任何元素的子集Φ;②含有1個元素的子集{1}{2}{3};③含有兩個元素的子集{1,2}{1,3}{2,3};④含有三個元素的子集{1,2,3}。

  集合B有4個元素,所以有24-2=14個非空真子集。具體的子集自己寫出來。

  此處這么羅嗦主要是為了讓同學(xué)們注意寫的.順序,數(shù)學(xué)就是要講究嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性的。一定要養(yǎng)成自己的邏輯習(xí)慣。如果就是為了提高計算能力倒不如直接去菜場賣菜算了,絕對能飛速提高的,那學(xué)數(shù)學(xué)也沒什么必要了。

  高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié) 20

  高一數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的應(yīng)用知識點總結(jié)

  一、方程的根與函數(shù)的零點

  1、函數(shù)零點的概念:對于函數(shù)yf(x)(xD),把使f(x)0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)(xD)的零點。

  2、函數(shù)零點的意義:函數(shù)yf(x)的零點就是方程f(x)0實數(shù)根,亦即函數(shù)

  yf(x)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)。

  即:方程f(x)0有實數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)yf(x)有零點.

  3、函數(shù)零點的求法:

  1(代數(shù)法)求方程f(x)0的實數(shù)根;○

  2(幾何法)對于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù)yf(x)的圖象○

  聯(lián)系起來,并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點.

  零點存在性定理:如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間〔a,b〕上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有f(a)f(b)<0,那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點,即存在c(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的根。先判定函數(shù)單調(diào)性,然后證明是否有f(a)f(b)第三章函數(shù)的應(yīng)用習(xí)題

  一、選擇題

  1.下列函數(shù)有2個零點的是()

  222y3x10y4x5x10yx3x5y4x4x1A、B、C、D、22.用二分法計算3x3x80在x(1,2)內(nèi)的根的過程中得:f(1)0,f(1.5)0,

  f(1.25)0,則方程的根落在區(qū)間()

  A、(1,1.5)B、(1.5,2)C、(1,1.25)D、(1.25,1.5)

  3.若方程axxa0有兩個解,則實數(shù)a的取值范圍是A、(1,)B、(0,1)C、(0,)D、

  4.函數(shù)f(x)=lnx-2x的零點所在的大致區(qū)間是()A.(1,2)B.2,eC.e,3D.e,

  5.已知方程x3x10僅有一個正零點,則此零點所在的區(qū)間是()

  A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)

  6.函數(shù)f(x)lnx2x6的零點落在區(qū)間()A.(2,2.25)B.(2.25,2.5)C.(2.5,2.75)D.(2.75,3)

  7.已知函數(shù)

  fx的圖象是不間斷的,并有如下的對應(yīng)值表:x1234567fx8735548那么函數(shù)在區(qū)間(1,6)上的零點至少有()個A.5B.4C.3D.28.方程2x1x5的解所在的區(qū)間是A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)

  9.方程4x35x60的根所在的區(qū)間為A、(3,2)B、(2,1)C、(1,0)D、(0,1)

  10.已知f(x)2x22x,則在下列區(qū)間中,f(x)0有實數(shù)解的是()

  )

  ()

  ()

  ((A)(-3,-2)(B)(-1,0)(C)(2,3)(D)(4,5)11.根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),可以判定方程ex-x-2=0的一個根所在的區(qū)間為()

  xexx+2-10.37101212.72327.394320.095A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)12、方程

  x12x根的個數(shù)為()

  A、0B、1C、2D、3二、填空題

  13.下列函數(shù):1)y=lgx;2)y2;3)y=x2;4)y=|x|-1;其中有2個零點的函數(shù)的序號是。

  x214.若方程3x2的實根在區(qū)間m,n內(nèi),且m,nZ,nm1,

  x則mn.

  222f(x)(x1)(x2)(x2x3)的零點是15、函數(shù)(必須寫全所有的零點)。

  擴展閱讀:高中數(shù)學(xué)必修一第三章函數(shù)的應(yīng)用知識點總結(jié)

  第三章函數(shù)的應(yīng)用

  一、方程的根與函數(shù)的零點

  1、函數(shù)零點的概念:對于函數(shù)yf(x)(xD),把使f(x)0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)(xD)的零點。

  2、函數(shù)零點的意義:函數(shù)yf(x)的零點就是方程f(x)0實數(shù)根,亦即函數(shù)

  yf(x)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)。

  即:方程f(x)0有實數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)yf(x)有零點.

  3、函數(shù)零點的.求法:

  1(代數(shù)法)求方程f(x)0的實數(shù)根;○

  2(幾何法)對于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù)yf(x)的圖象聯(lián)系起來,○

  并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點.

  4、基本初等函數(shù)的零點:

  ①正比例函數(shù)ykx(k0)僅有一個零點。

  k(k0)沒有零點。x③一次函數(shù)ykxb(k0)僅有一個零點。

  ②反比例函數(shù)y④二次函數(shù)yax2bxc(a0).

  (1)△>0,方程ax2bxc0(a0)有兩不等實根,二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點,二次函數(shù)有兩個零點.

  (2)△=0,方程ax2bxc0(a0)有兩相等實根,二次函數(shù)的圖象與x軸有一個交點,二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點.

  (3)△<0,方程ax2bxc0(a0)無實根,二次函數(shù)的圖象與x軸無交點,二次函數(shù)無零點.

  ⑤指數(shù)函數(shù)ya(a0,且a1)沒有零點。⑥對數(shù)函數(shù)ylogax(a0,且a1)僅有一個零點1.

  ⑦冪函數(shù)yx,當(dāng)n0時,僅有一個零點0,當(dāng)n0時,沒有零點。

  5、非基本初等函數(shù)(不可直接求出零點的較復(fù)雜的函數(shù)),函數(shù)先把fx轉(zhuǎn)化成,這另fx0,再把復(fù)雜的函數(shù)拆分成兩個我們常見的函數(shù)y1,y2(基本初等函數(shù))個函數(shù)圖像的交點個數(shù)就是函數(shù)fx零點的個數(shù)。

  6、選擇題判斷區(qū)間a,b上是否含有零點,只需滿足fafb0。Eg:試判斷方程xx2x10在區(qū)間[0,2]內(nèi)是否有實數(shù)解?并說明理由。

  1

  42x7、確定零點在某區(qū)間a,b個數(shù)是唯一的條件是:①fx在區(qū)間上連續(xù),且fafb0②在區(qū)間a,b上單調(diào)。Eg:求函數(shù)f(x)2xlg(x1)2的零點個數(shù)。

  8、函數(shù)零點的性質(zhì):

  從“數(shù)”的角度看:即是使f(x)0的實數(shù);

  從“形”的角度看:即是函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo);

  若函數(shù)f(x)的圖象在xx0處與x軸相切,則零點x0通常稱為不變號零點;若函數(shù)f(x)的圖象在xx0處與x軸相交,則零點x0通常稱為變號零點.

  Eg:一元二次方程根的分布討論

  一元二次方程根的分布的基本類型

  2axbxc0(a0)的兩實根為x1,x2,且x1x2.設(shè)一元二次方程

  k為常數(shù),則一元二次方程根的k分布(即x1,x2相對于k的位置)或根在區(qū)間上的

  分布主要有以下基本類型:

  表一:(兩根與0的大小比較)

  分布情況兩個負(fù)根即兩根都小于0兩個正根即兩根都大于0一正根一負(fù)根即一個根小于0,一個大于0x10,x20x10,x20x10x2a0)大致圖象(得出的結(jié)論0b02af000b02af00f00

  大致圖象(a0)得出的結(jié)論0b02af000b02aaf000b02af000b02aaf00f00(不綜討合論結(jié)a論)

  af00表二:(兩根與k的大小比較)

  分布情況兩根都小于k即兩根都大于k即一個根小于k,一個大于k即x1k,x2kx1k,x2kx1kx2a0)大致圖象(kkk得出的結(jié)論0bk2afk00bk2afk0fk0大致圖象(a0)得出的結(jié)論0bk2afk00bk2aafk00bk2afk00bk2aafk0fk0(不綜討合論結(jié)a論)a0)afk0分布情況大致圖象(得出的結(jié)論表三:(根在區(qū)間上的分布)

  兩根都在m,n內(nèi)兩根有且僅有一根在m,n一根在m,n內(nèi),另一根在p,q內(nèi)(有兩種情況,只畫了一種)內(nèi),mnpq0fm0fn0bmn2afmfn0fm0fn0fmfn0fp0fq0fpfq0或

  大致圖象(a0)得出的結(jié)論0fm0fn0bmn2a綜合結(jié)論fmfn0fm0fn0fmfn0fp0fq0fpfq0或fmfn0fpfq0(a不)討論

  fmfn0Eg:(1)關(guān)于x的方程x22(m3)x2m140有兩個實根,且一個大于1,一個小于1,求m的取值范圍?

  (2)關(guān)于x的方程x2(m3)x2m140有兩實根在[0,4]內(nèi),求m的取值范圍?

  2(3)關(guān)于x的方程mx2(m3)x2m140有兩個實根,且一個大于4,一個小于4,求m的取值范圍?

  9、二分法的定義

  對于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷,且滿足f(a)f(b)0的函數(shù)

  yf(x),通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二,

  使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做二分法.

  10、給定精確度ε,用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步驟:(1)確定區(qū)間[a,b],驗證f(a)f(b)0,給定精度;(2)求區(qū)間(a,b)的中點x1;(3)計算f(x1):

  ①若f(x1)=0,則x1就是函數(shù)的零點;

  ②若f(a)f(x1)14、根據(jù)散點圖設(shè)想比較接近的可能的函數(shù)模型:一次函數(shù)模型:f(x)kxb(k0);二次函數(shù)模型:g(x)ax2bxc(a0);冪函數(shù)模型:h(x)axb(a0);

  指數(shù)函數(shù)模型:l(x)abxc(a0,b>0,b1)

  利用待定系數(shù)法求出各解析式,并對各模型進(jìn)行分析評價,選出合適的函數(shù)模型

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